Domande di matematica sulla teoria degli insiemi per il 7° anno
Con soluzioni passo dopo passo

Benvenuti nella pagina di studio sulla teoria degli insiemi per il 7° anno. Questa piattaforma è curata per guidare studenti, insegnanti e genitori attraverso le regole fondamentali degli insiemi. Di seguito troverai domande di pratica che coprono la cardinalità degli insiemi, l'appartenenza degli elementi, i sottoinsiemi, le unioni e le intersezioni insieme a soluzioni dettagliate passo dopo passo.

Domande di pratica

  1. Trova la cardinalità dell'insieme $A$ e dell'insieme $B$ definiti da:

    $A = \{a, b, c, d\}$  e  $B = \{1, 4, 7, 9, 10, 12, 23\}$

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    La cardinalità di un insieme è uguale al numero di elementi distinti contenuti in quell'insieme. Usiamo la notazione $|A|$ o $\text{Card}(A)$ per rappresentarla.

    • L'insieme $A$ ha $4$ elementi distinti, quindi $\mathbf{|A| = 4}$
    • L'insieme $B$ ha $7$ elementi distinti, quindi $\mathbf{|B| = 7}$
  2. Determina la cardinalità di ciascuno dei seguenti insiemi:
    • L'insieme di tutti i mesi di un anno che iniziano con la lettera "M".
    • L'insieme di tutte le vocali dell'alfabeto inglese.
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    a) L'insieme dei mesi che iniziano con "M":
    Sia questo l'insieme $S$. Elencando gli elementi si ottiene: $S = \{\text{marzo}, \text{maggio}\}$.
    Pertanto, la cardinalità è $\mathbf{|S| = 2}$.

    b) L'insieme di tutte le vocali dell'alfabeto inglese:
    Sia questo l'insieme $V$. Elencando gli elementi si ottiene: $V = \{a, e, i, o, u\}$.
    Pertanto, la cardinalità è $\mathbf{|V| = 5}$.

  3. Gli insiemi $A$ e $B$ sono definiti da:

    $A = \{3, 5, 7, 8\}$  e  $B = \{x, y, z\}$

    Rispondi con Vero o Falso:
    • $3 \in A$
    • $3 \in B$
    • $x \notin A$
    • $z \in B$
    • $8 \in B$
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    Il simbolo $\in$ indica "è un elemento di" (appartenenza), mentre $\notin$ indica "non è un elemento di".

    • Vero; $3$ è visibilmente presente come membro all'interno dell'insieme $A$.
    • Falso; $3$ non è un elemento dell'insieme $B$.
    • Vero; l'elemento $x$ non appartiene all'insieme $A$.
    • Vero; $z$ è esplicitamente un elemento dell'insieme $B$.
    • Falso; $8$ appartiene all'insieme $A$, ma non è un elemento dell'insieme $B$.
  4. Elenca tutti gli elementi appartenenti a ciascuno dei seguenti insiemi:
    • L'insieme di tutti i numeri pari positivi minori o uguali a $10$.
    • L'insieme di tutte le lettere uniche nella parola "AUSTRALIA".
    • L'insieme di tutti i numeri interi maggiori di $3$ e minori di $16$ che sono divisibili per $3$.
    • L'insieme di tutti i numeri interi maggiori di $5$ e minori di $35$ che sono divisibili per $5$.
    • L'insieme di tutti i numeri primi divisibili per $3$.
    • L'insieme di tutti i numeri il cui valore assoluto è uguale a $7$.
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    • $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ (Numeri pari positivi che partono da $2$ fino a $10$ incluso).
    • $\{A, U, S, T, R, L, I\}$ (Nella notazione per esteso degli insiemi, gli elementi duplicati come la "A" vengono elencati una sola volta).
    • $\{6, 9, 12, 15\}$ (Multipli di $3$ compresi strettamente tra $3$ e $16$).
    • $\{10, 15, 20, 25, 30\}$ (Multipli di $5$ compresi strettamente tra $5$ e $35$).
    • $\{3\}$ (L'unico numero primo divisibile per $3$ è $3$ stesso).
    • $\{-7, 7\}$ (Sia $|-7| = 7$ che $|7| = 7$).
  5. Dati i seguenti insiemi:

    $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
    $B = \{3, 5, 7\}$
    $C = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\}$
    $D = \{20, 25, 30\}$

    Rispondi con Vero o Falso:
    • $A \subseteq B$
    • $B \subseteq A$
    • $B \nsubseteq C$
    • $C \subseteq D$
    • $D \nsubseteq A$
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    Il simbolo $\subseteq$ significa "è un sottoinsieme di" (ogni elemento del primo insieme deve trovarsi all'interno del secondo insieme). Il simbolo $\nsubseteq$ significa "non è un sottoinsieme di".

    • Falso; gli elementi $2, 4$ e $6$ appartengono ad $A$ ma mancano in $B$.
    • Vero; ogni singolo elemento dell'insieme $B$ ($3, 5$ e $7$) si trova anche all'interno dell'insieme $A$.
    • Falso; poiché tutti gli elementi di $B$ esistono all'interno di $C$, $B$ è un sottoinsieme ($B \subseteq C$).
    • Falso; gli elementi $3, 5$ e $7$ sono nell'insieme $C$ ma mancano completamente nell'insieme $D$.
    • Vero; gli elementi $20, 25$ e $30$ sono presenti nell'insieme $D$ ma non esistono da nessuna parte all'interno dell'insieme $A$.
  6. Usando gli insiemi $A, B, C$ e $D$ definiti nella Domanda 5, determina quanto segue:
    • a) $A \cup B$
    • b) $A \cap B$
    • c) $B \cap C$
    • d) $C \cup B$
    • e) $D \cap C$
    • f) $(A \cap B) \cap C$
    • g) $(A \cup B) \cap (C \cup D)$
    • h) $(A \cup B) \cup (C \cup D)$
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    Ricorda che il simbolo di unione ($\cup$) combina tutti gli elementi di entrambi gli insiemi, mentre il simbolo di intersezione ($\cap$) estrae solo gli elementi comuni a entrambi gli insiemi.

    • $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = A$ (Poiché $B$ è completamente contenuto in $A$).
    • $A \cap B = \{3, 5, 7\} = B$ (Questi sono gli elementi condivisi tra gli insiemi $A$ e $B$).
    • $B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Gli elementi condivisi tra gli insiemi $B$ e $C$).
    • $C \cup B = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\} = C$ (Poiché $B$ è completamente contenuto in $C$).
    • $D \cap C = \{20, 25, 30\} = D$ (Poiché $D \subseteq C$).
    • $(A \cap B) \cap C = B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Prima trova $A \cap B = B$, poi interseca con $C$).
    • $(A \cup B) \cap (C \cup D) = A \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Valuta i blocchi tra parentesi: $(A \cup B) = A$ e $(C \cup D) = C$, il che lascia $A \cap C$).
    • $(A \cup B) \cup (C \cup D) = A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30\}$ (Combina insieme tutti gli elementi unici di $A$ e $C$).