Questa pagina ti insegnerà come impostare e risolvere le proporzioni in matematica. Sotto la lezione introduttiva, troverai una serie di domande di pratica per il 7° anno accompagnate da soluzioni passo dopo passo per aiutarti a verificare il tuo lavoro.
La tabella seguente mostra la distanza percorsa da un'auto in chilometri (km) e il tempo in ore necessario per percorrere tale distanza. Assumiamo che l'auto viaggi a velocità costante. Quante ore sono necessarie per percorrere 500 chilometri?
| Distanza (km) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| Tempo (ore) | 1 | 2 | 3 | $t$ |
Nota che se dividiamo la distanza per il tempo per le prime tre colonne, otteniamo un tasso costante:
$$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50$$
Questo tasso è la velocità costante di $50 \text{ km/h}$. Diciamo che la distanza è proporzionale al tempo. Poiché l'auto mantiene la stessa velocità, questa regola di proporzionalità funziona anche per la distanza di $500 \text{ km}$:
$$\frac{150}{3} = \frac{500}{t}$$
La difficoltà principale nella risoluzione delle proporzioni è la presenza di denominatori (come $3$ e $t$). Per risolvere la proporzione, dobbiamo eliminare questi denominatori. Facciamo ciò moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per il prodotto dei denominatori ($3 \times t = 3t$).
Passo 1: Moltiplica entrambi i lati per $3t$:
$$3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}$$
Passo 2: Semplifica cancellando i termini comuni su ciascun lato:
$$t \times 150 = 3 \times 500$$
$$150t = 1500$$
Passo 3: Dividi entrambi i lati per $150$ per isolare $t$:
$$t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ ore}}$$
$$\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$$
Moltiplica entrambi i lati della proporzione per il prodotto dei denominatori ($2 \times 8 = 16$):
$$16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}$$
Semplifica cancellando i fattori comuni:
$$8x = 2 \times 4$$
$$8x = 8$$
Dividi entrambi i lati per $8$:
$$\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}$$
$$\frac{3}{p} = \frac{1}{5}$$
Moltiplica entrambi i lati della proporzione per il prodotto dei denominatori ($5 \times p = 5p$):
$$5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}$$
Semplifica cancellando i fattori comuni:
$$5 \times 3 = p \times 1$$
$$\mathbf{15 = p}$$
Moltiplica entrambi i lati della proporzione per il prodotto dei denominatori ($5 \times 15 = 75$):
$$75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}$$
Semplifica calcolando le divisioni:
$$15 \times 31 = 5 \times w$$
$$465 = 5w$$
Dividi entrambi i lati per $5$ per isolare $w$:
$$w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}$$
Metodo alternativo più rapido: Poiché devi solo isolare $w$, puoi semplicemente moltiplicare entrambi i lati per $15$:
$$15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}$$
$$\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}$$
Moltiplica entrambi i lati della proporzione per il prodotto dei denominatori ($3 \times 6 = 18$):
$$18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}$$
Semplifica eseguendo prima la divisione:
$$6 \times 2k = 3 \times 20$$
$$12k = 60$$
Dividi entrambi i lati per $12$:
$$\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}$$
$$\frac{3}{7} = \frac{y}{0}$$
Nessuna soluzione. La divisione per zero non è definita in matematica, rendendo impossibile per la frazione a destra assumere un valore numerico valido.
$$\frac{1}{4} = \frac{0}{x}$$
Nessuna soluzione. Se $x = 0$, il lato destro non è definito. Per qualsiasi altro valore in cui $x \neq 0$, il lato destro si semplifica a $0$. Tuttavia, il lato sinistro è $\frac{1}{4}$, che non è uguale a $0$. Pertanto, questa proporzione non ha alcuna soluzione valida.
Innanzitutto, riduci la frazione sul lato destro ai minimi termini:
$$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$$
Riscrivi la proporzione:
$$\frac{m}{4} = \frac{1}{4}$$
Poiché i denominatori sono uguali, anche i numeratori devono essere uguali. Pertanto:
$$\mathbf{m = 1}$$
$$\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}$$
Poiché i denominatori su entrambi i lati sono già uguali a $14$, i loro numeratori devono essere uguali affinché la proporzione sia vera:
$$6 = 2t$$
Dividi entrambi i lati per $2$ per isolare $t$:
$$\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}$$