Questa pagina è progettata per aiutare gli studenti a padroneggiare il concetto di tassi e tassi unitari. Di seguito troverai esempi introduttivi che spiegano come impostare le equazioni dei tassi, seguiti da domande di pratica accuratamente selezionate con soluzioni passo dopo passo.
Un tasso è un rapporto che confronta due quantità che hanno unità diverse (ad esempio, chilometri e ore, o dollari e chilogrammi).
L'auto A percorre $150$ chilometri in $3$ ore. L'auto B percorre $220$ chilometri in $4$ ore. Supponendo che entrambe le auto viaggino a velocità costante, quale delle due auto viaggia più veloce?
Innanzitutto, calcola quanta strada percorre l'auto A in esattamente un'ora:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ ore}} = \frac{50 \text{ km}}{1 \text{ ora}} = 50 \text{ km/h}$$
Successivamente, calcola quanta strada percorre l'auto B in un'ora:
$$\frac{220 \text{ km}}{4 \text{ ore}} = \frac{55 \text{ km}}{1 \text{ ora}} = 55 \text{ km/h}$$
Le quantità $50 \text{ km/h}$ e $55 \text{ km/h}$ sono chiamate tassi unitari perché il denominatore è esattamente un'unità di tempo. Confrontando questi tassi unitari, possiamo chiaramente vedere che l'auto B viaggia più veloce.
Un'auto percorre $150$ chilometri in $3$ ore. Supponendo una velocità costante, quante ore sono necessarie affinché questa auto percorra $250$ chilometri?
Sia $t$ il numero di ore necessarie per percorrere $250 \text{ km}$. Poiché la velocità è costante, il tasso rimane lo stesso. Possiamo impostare una proporzione:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ ore}} = \frac{250 \text{ km}}{t}$$
Per ricavare $t$, possiamo usare il metodo della moltiplicazione incrociata. Moltiplica in diagonale attraverso il segno di uguale:
$$150 \text{ km} \times t = 250 \text{ km} \times 3 \text{ ore}$$
Isola $t$ dividendo entrambi i lati per $150 \text{ km}$:
$$t = \frac{250 \times 3}{150} \text{ ore}$$
$$t = \frac{750}{150} \text{ ore} = \mathbf{5 \text{ ore}}$$
Nota: se ti blocchi, espandi il blocco della soluzione per vedere la logica passo dopo passo.
Sia $d$ la distanza reale in chilometri. Imposta una proporzione confrontando la scala della mappa con la distanza sconosciuta:
$$\frac{15 \text{ km}}{5 \text{ cm}} = \frac{d}{15 \text{ cm}}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata:
$$15 \text{ km} \times 15 \text{ cm} = d \times 5 \text{ cm}$$
Dividi entrambi i lati per $5 \text{ cm}$:
$$d = \frac{15 \times 15}{5} \text{ km} = \frac{225}{5} \text{ km} = \mathbf{45 \text{ km}}$$
Sia $x$ il numero di galloni necessari per percorrere $330 \text{ miglia}$. Imposta la proporzione:
$$\frac{220 \text{ miglia}}{10 \text{ galloni}} = \frac{330 \text{ miglia}}{x}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata:
$$220 \times x = 330 \times 10$$
Dividi entrambi i lati per $220$ per isolare $x$:
$$x = \frac{3300}{220} = \mathbf{15 \text{ galloni}}$$
Innanzitutto, trova il costo di esattamente un biglietto (il tasso unitario):
$$c = \frac{\$66}{10 \text{ biglietti}} = \$6,60 \text{ a biglietto}$$
Per trovare il costo totale ($C$) di $22$ biglietti, moltiplica il tasso unitario per $22$:
$$C = 22 \text{ biglietti} \times \$6,60 \text{ a biglietto} = \mathbf{\$145,20}$$
Parte a: Innanzitutto, trova il numero di lattine per scatola (tasso unitario):
$$\text{Tasso unitario} = \frac{36 \text{ lattine}}{4 \text{ scatole}} = 9 \text{ lattine a scatola}$$
In $7$ scatole, il numero di lattine è:
$$7 \text{ scatole} \times 9 \text{ lattine a scatola} = \mathbf{63 \text{ lattine}}$$
Parte b: Sia $B$ il numero di scatole necessarie per confezionare $99 \text{ lattine}$. Usando il tasso unitario, scrivi la proporzione:
$$\frac{9 \text{ lattine}}{1 \text{ scatola}} = \frac{99 \text{ lattine}}{B}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata e risolvi per $B$:
$$9 \times B = 99 \times 1 \implies B = \frac{99}{9} = \mathbf{11 \text{ scatole}}$$
Innanzitutto, trova il costo di $1 \text{ kg}$ di mele (il tasso unitario):
$$c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3,75 \text{ al kg}$$
Conoscendo il costo di $1 \text{ kg}$, il costo ($C$) di $11 \text{ kg}$ è:
$$C = 11 \text{ kg} \times \$3,75 \text{ al kg} = \mathbf{\$41,25}$$
Parte a: Trova il numero di galloni spostati in un minuto (tasso unitario):
$$\text{Tasso unitario} = \frac{55 \text{ galloni}}{10 \text{ minuti}} = 5,5 \text{ galloni al minuto}$$
Il numero di galloni spostati in $22 \text{ minuti}$ è:
$$22 \text{ minuti} \times 5,5 \text{ galloni al minuto} = \mathbf{121 \text{ galloni}}$$
Parte b: Sia $T$ il numero di minuti per spostare $165 \text{ galloni}$. Imposta la proporzione:
$$\frac{55 \text{ galloni}}{10 \text{ minuti}} = \frac{165 \text{ galloni}}{T}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata e risolvi:
$$55 \times T = 165 \times 10 \implies T = \frac{1650}{55} = \mathbf{30 \text{ minuti}}$$
Sia $T$ il numero totale di ore necessarie affinché tutti i $324 \text{ litri}$ fuoriescano. Usando l'uguaglianza dei tassi:
$$\frac{3 \text{ litri}}{5 \text{ ore}} = \frac{324 \text{ litri}}{T}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata:
$$3 \times T = 5 \times 324$$
Dividi entrambi i lati per $3$ e semplifica:
$$T = \frac{1620}{3} = \mathbf{540 \text{ ore}}$$
Sia $W$ il peso di $5 \text{ scatole}$. Usando l'uguaglianza dei tassi:
$$\frac{20 \text{ scatole}}{7300 \text{ grammi}} = \frac{5 \text{ scatole}}{W}$$
Esegui la moltiplicazione incrociata:
$$20 \times W = 5 \times 7300$$
Dividi entrambi i lati per $20$ e semplifica:
$$W = \frac{36500}{20} = \mathbf{1825 \text{ grammi}}$$
In questo problema, abbiamo due tassi concorrenti: il tasso di riempimento ($R_f$) e il tasso di perdita ($R_l$). Troviamo il tasso unitario al secondo per entrambi:
$$R_f = \frac{5 \text{ litri}}{45 \text{ secondi}} = \frac{1}{9} \text{ litri al secondo}$$
$$R_l = \frac{1 \text{ litro}}{180 \text{ secondi}}$$
Sappiamo che $1 \text{ ora} = 3600 \text{ secondi}$. Calcoliamo il volume totale per entrambe le azioni in questo intervallo di tempo.
La quantità ($Q_1$) di acqua pompata dentro dopo $1 \text{ ora}$ è:
$$Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{1}{9} \times 3600 = 400 \text{ litri}$$
La quantità ($Q_2$) di acqua persa attraverso la fuoriuscita dopo $1 \text{ ora}$ è:
$$Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ litri}$$
Pertanto, la quantità totale ($Q$) di acqua rimanente nel contenitore dopo $1 \text{ ora}$ è:
$$Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = \mathbf{380 \text{ litri}}$$