Domande di pratica
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Rapporti tra le aree: I tre cerchi \( C_1 \), \( C_2 \) e \( C_3 \) hanno i loro centri \( O_1 \), \( O_2 \) e \( O_3 \) sulla linea \( L \) e sono tutti tangenti nello stesso punto. Se il diametro del cerchio più grande è 20 unità, qual è il rapporto tra l'area del cerchio più grande e l'area del cerchio più piccolo?
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Passo 1: Area del cerchio più grande (\( C_1 \))
- Il diametro del cerchio \( C_1 \) è 20 unità, quindi il suo raggio (\( r_1 \)) è 10 unità.
- Area \( A \) del cerchio \( C_1 \) = \( \pi(10)^2 = 100\pi \).
Passo 2: Area del cerchio più piccolo (\( C_3 \))
- In base al diagramma, il diametro di \( C_2 \) equivale al raggio di \( C_1 \) (10 unità). Quindi, \( r_2 = 5 \) unità.
- Il diametro di \( C_3 \) equivale al raggio di \( C_2 \) (5 unità). Quindi, il raggio di \( C_3 \) (\( r_3 \)) è 2,5 unità.
- Area \( B \) del cerchio \( C_3 \) = \( \pi(2,5)^2 \).
Passo 3: Trova il rapporto
- \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2,5)^2} \)
- \( = \left(\dfrac{10}{2,5}\right)^2 = 4^2 = 16 \)
- Il rapporto è 16:1.
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Figure composte: Il giardino della signora Parkinson è costituito da 4 quadrati e 2 semicerchi come mostrato di seguito. Ciascun quadrato piccolo ha un'area di 4 metri quadrati. Trova l'area totale del giardino.
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Passo 1: Area dei quadrati
- Area totale dei 4 quadrati = \( 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \).
Passo 2: Trova le dimensioni dei semicerchi
- L'area di un quadrato piccolo è \( 4 \text{ m}^2 \), il che significa che la lunghezza del suo lato è \( \sqrt{4} = 2 \text{ m} \).
- Il raggio di ciascun semicerchio corrisponde al lato del quadrato, quindi \( r = 2 \text{ m} \).
Passo 3: Calcola l'area totale
- I due semicerchi si combinano per formare un cerchio completo.
- Area del cerchio = \( \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2 \).
- Area totale = \( 16 + 4\pi \approx 16 + 12,56 = \) \( 28,56 \text{ m}^2 \) (usando \(\pi \approx 3,14\)).
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Applicazione nel mondo reale: Un irrigatore da giardino può spruzzare acqua a una distanza massima di 12 metri in tutte le direzioni. Quale area del giardino può irrigare questo irrigatore? Arrotonda la risposta al metro quadrato più vicino.
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- Una rotazione completa dell'irrigatore irriga un'area circolare con un raggio di 12 metri.
- Area = \( \pi r^2 \)
- Area = \( \pi(12)^2 = 144\pi \)
- \( 144 \times 3,14159 \approx 452,389 \)
- L'irrigatore può irrigare approssimativamente 452 metri quadrati.
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Cerchi concentrici: Un giardino circolare con un raggio di 10 metri è circondato da un vialetto di larghezza pari a 1 metro. Trova l'area del vialetto (la parte ombreggiata).
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- Il vialetto è racchiuso tra un cerchio interno più piccolo e un cerchio esterno più grande.
- Raggio interno = 10 metri.
- Raggio esterno = \( 10 + 1 = 11 \) metri.
- Area del vialetto = Area del cerchio esterno - Area del cerchio interno
- Area = \( (\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2) \)
- Area = \( 121\pi - 100\pi \) = \( 21\pi \text{ m}^2 \)
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Applicazione del costo unitario: Una pizza circolare costa 19,99 dollari. Qual è il costo di 1 centimetro quadrato se il diametro della pizza è di 36 cm?
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- Innanzitutto, trova il raggio: \( 36 \div 2 = 18 \text{ cm} \).
- Calcola l'area totale: \( \pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017,87 \text{ cm}^2 \).
- Calcola il costo per cm quadrato dividendo il costo totale per l'area totale.
- \( \dfrac{19,99}{1017,87} \approx 0,0196 \text{ dollari} \)
- Il costo è di circa 2 centesimi per centimetro quadrato.
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Procedere a ritroso dall'area: Quanta recinzione è necessaria per il giardino fiorito circolare dei Robinson che ha un'area di 5 metri quadrati? (Arrotonda la risposta al metro più vicino).
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La recinzione corre lungo il perimetro esterno, quindi dobbiamo trovare la circonferenza. Innanzitutto, dobbiamo trovare il raggio.
- \( \pi \times r^2 = 5 \)
- \( r^2 = \dfrac{5}{\pi} \)
- \( r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1,26 \text{ metri} \)
Ora, calcola la circonferenza:
- \( C = 2\pi r \)
- \( C = 2 \times \pi \times 1,26 \approx 7,92 \text{ metri} \)
- Sono necessari circa 8 metri di recinzione.
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Aumento percentuale: Il raggio di un disco circolare viene aumentato del 20%. Qual è l'aumento percentuale dell'area del disco?
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- Area originale = \( \pi r^2 \).
- Se il raggio aumenta del 20%, il nuovo raggio è \( r + 0,20r = 1,2r \).
- Nuova area = \( \pi(1,2r)^2 = 1,44\pi r^2 \).
- Trova la differenza di area: \( 1,44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0,44\pi r^2 \).
- Per trovare la variazione percentuale, dividi la differenza per l'area originale e moltiplica per 100.
- \( \left(\dfrac{0,44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0,44 \times 100\% = \) \( 44\% \).
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Applicazione della sporgenza: Un tavolo circolare ha un diametro di 100 pollici. Una tovaglia circolare sporge dai bordi di 15 pollici tutto intorno al tavolo. Qual è l'area della tovaglia?
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- Se il diametro del tavolo è 100 pollici e la tovaglia sporge di 15 pollici da entrambi i lati, il diametro totale della tovaglia è \( 100 + 15 + 15 = 130 \text{ pollici} \).
- Il raggio della tovaglia è \( 130 \div 2 = 65 \text{ pollici} \).
- Area = \( \pi r^2 = \pi(65)^2 \)
- Area = \( 4225\pi \approx \) \( 13.273 \text{ pollici quadrati} \) (Nota: Se si usa 3,14 per \(\pi\), la risposta si arrotonda a circa 13.267 pollici quadrati).
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Quadrati e cerchi: ABCD è un quadrato con un vertice al centro del cerchio e due vertici sul cerchio. Qual è la lunghezza della diagonale \( AC \) se l'area del cerchio è di 100 cm quadrati?
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Passo 1: Trova il quadrato del raggio
- Area = \( \pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi} \).
Passo 2: Usa il teorema di Pitagora
- Poiché il vertice A è al centro e B e D sono sul cerchio, i lati \( AB \) e \( AD \) sono uguali al raggio del cerchio (\( r \)).
- Nel triangolo rettangolo \( \triangle ABC \), la diagonale \( AC \) è l'ipotenusa.
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \)
- Sostituisci il valore di \( r^2 \): \( AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi} \).
- \( AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx \) \( 8 \text{ cm} \).
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Rapporti tra perimetro e area: Il rapporto tra il perimetro del cerchio A e il perimetro del cerchio B è 3:1. Qual è il rapporto tra l'area del cerchio A e l'area del cerchio B?
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- Sia \( R_A \) il raggio del cerchio A e \( R_B \) il raggio del cerchio B.
- Il rapporto tra i loro perimetri (circonferenze) è \( \dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1} \).
- Pertanto, \( R_A = 3R_B \).
- Il rapporto tra le loro aree è \( \dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2} \).
- Sostituisci \( 3R_B \) a \( R_A \): \( \dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 \).
- Il rapporto tra le aree è 9:1.
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Corde intersecanti: In un cerchio con centro \( O \), una corda \( AB \) è perpendicolare a un raggio. Il raggio interseca la corda nel suo punto medio, \( P \). Se la lunghezza del raggio del cerchio è 10 unità e la distanza dal centro alla corda (\( OP \)) è 6 unità, trova la lunghezza della corda \( AB \).
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- Poiché il raggio è perpendicolare alla corda, crea un triangolo rettangolo \( \triangle OAP \), dove \( O \) è il centro, \( A \) è un estremo della corda e \( P \) è il punto medio.
- L'ipotenusa \( OA \) è il raggio = 10 unità.
- Il cateto \( OP \) è la distanza dalla corda = 6 unità.
Passo 1: Usa il teorema di Pitagora per trovare \( AP \)
- \( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
- \( 10^2 = 6^2 + AP^2 \)
- \( 100 = 36 + AP^2 \)
- \( AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8 \text{ unità} \).
Passo 2: Trova la lunghezza totale della corda
- Poiché \( P \) biseca la corda, \( AB = 2 \times AP \).
- \( AB = 2 \times 8 = \) \( 16 \text{ unità} \).