Come si trova il volume di un cubo se si conosce la sua area superficiale?

Innanzitutto, dividi l'area superficiale totale per 6 per trovare l'area di una faccia. Quindi, estrai la radice quadrata di quel numero per trovare la lunghezza del lato. Infine, eleva al cubo la lunghezza del lato (moltiplicala per se stessa tre volte) per trovare il volume.

Qual è la differenza tra angoli complementari e supplementari?

Gli angoli complementari sono due angoli le cui misure sommano esattamente a 90 gradi. Gli angoli supplementari sono due angoli le cui misure sommano esattamente a 180 gradi.

Come si trova il rapporto tra le aree di due figure simili?

Se conosci il rapporto delle lunghezze dei loro lati corrispondenti, puoi trovare il rapporto delle loro aree elevando al quadrato il rapporto della lunghezza dei lati. Ad esempio, se il rapporto dei lati è 1:4, il rapporto delle aree è 1:16.

Problemi di geometria per l'8° anno: Domande di pratica e soluzioni passo dopo passo

Formule del cilindro: Trova l'area della superficie totale e il volume di un contenitore cilindico chiuso con un raggio di 5 cm e un'altezza di 34 cm.

Suggerimento: Area $ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $, Volume $ V = \pi r^2 h $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Passo 1: Calcola l'area della superficie totale

$ A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) $ (Sostituisci $ r=5 $ e $ h=34 $)
$ A = 2\pi(25) + 2\pi(170) $
$ A = 50\pi + 340\pi $
Area = $ 390\pi \text{ cm}^2 $

Passo 2: Calcola il volume

$ V = \pi(5)^2(34) $
$ V = \pi(25)(34) $
Volume = $ 850\pi \text{ cm}^3 $

Formule del cono: Trova l'area della superficie totale e il volume di un contenitore conico chiuso con un raggio di 5 cm e un'altezza di 15 cm. (Arrotonda le risposte all'unità intera più vicina).

Suggerimento: Area $ A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} $, Volume $ V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Passo 1: Calcola l'area della superficie totale

Innanzitutto, trova l'apotema: $ \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15,81 $ cm.
$ A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15,81) $
$ A = 25\pi + 79,05\pi = 104,05\pi $
$ 104,05 \times 3,14159 \approx 326,88 $
Area $\approx 327 \text{ cm}^2 $

Passo 2: Calcola il volume

$ V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) $
$ V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi $
$ 125 \times 3,14159 \approx 392,69 $
Volume $\approx 393 \text{ cm}^3 $

Procedere a ritroso (Cubi): Un cubo ha un'area superficiale totale delle sei facce pari a 150 piedi quadrati. Qual è il volume del cubo?

Suggerimento: Area $ A = 6s^2 $, Volume $ V = s^3 $ (dove $ s $ è la lunghezza del lato)

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Passo 1: Trova la lunghezza del lato ($ s $)

L'area superficiale totale è la somma di 6 facce quadrate identiche.
$ 6s^2 = 150 $
$ s^2 = 25 $ (Dividi per 6)
$ s = 5 \text{ piedi} $ (Estrai la radice quadrata)

Passo 2: Calcola il volume

$ V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $
Volume = $ 125 \text{ piedi cubi} $

Angoli complementari: Quali due angoli sono complementari?

21$^{\circ} $ e 78$^{\circ} $
58$^{\circ} $ e 22$^{\circ} $
67$^{\circ} $ e 23$^{\circ} $
140$^{\circ} $ e 40$^{\circ} $

Definizione: Gli angoli complementari sommano a 90$^{\circ} $.

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Dobbiamo trovare la coppia che somma esattamente a 90$^{\circ} $:

A) 21 + 78 = 99$^{\circ} $
B) 58 + 22 = 80$^{\circ} $
C) 67 + 23 = 90$^{\circ} $ (Questi sono complementari)
D) 140 + 40 = 180$^{\circ} $ (Questi sono supplementari)

Risposta: C

Angoli supplementari: Quali due angoli non sono supplementari?

30$^{\circ} $ e 150$^{\circ} $
5$^{\circ} $ e 175$^{\circ} $
89$^{\circ} $ e 91$^{\circ} $
23$^{\circ} $ e 177$^{\circ} $

Definizione: Gli angoli supplementari sommano a 180$^{\circ} $.

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Dobbiamo trovare la coppia che non somma esattamente a 180$^{\circ} $:

A) 30 + 150 = 180$^{\circ} $
B) 5 + 175 = 180$^{\circ} $
C) 89 + 91 = 180$^{\circ} $
D) 23 + 177 = 200$^{\circ} $ (Questi non danno 180)

Risposta: D

Area del trapezio: Trova l'altezza $ h $ del trapezio affinché la sua area sia pari a 400 cm quadrati. $Trapezio con base superiore 10cm, base inferiore 30cm e altezza h$

Suggerimento: $ A_{\text{trapezoid}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Le basi date sono $ b_1 = 27 $ e $ b_2 = 13 $. L'area è 400.
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) $ (Sostituisci i valori noti)
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(40) $
$ 400 = 20h $
$ h = \dfrac{400}{20} $
$ h = 20 \text{ cm} $

Area del parallelogramma: Trova la larghezza $ w $ del parallelogramma affinché la sua area sia pari a 600 piedi quadrati. $Parallelogramma con altezza 20 piedi e base w$

Suggerimento: $ A_{\text{parallelogram}} = \text{base} \times \text{altezza} $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

L'altezza data è 20 piedi. L'area è 600. La base è indicata con $ w $.
$ 600 = w \times 20 $
$ w = \dfrac{600}{20} $
$ w = 30 \text{ piedi} $

Area complessa: Trova l'area della figura ombreggiata in base alle dimensioni visive fornite. $Figura geometrica complessa$

Visualizza la soluzione passo dopo passo

L'area della regione ombreggiata è uguale all'area del grande rettangolo 40 per 25 da cui sottraiamo l'area del piccolo rettangolo bianco 14 per 12 (a sinistra) e l'area del triangolo bianco di altezza 10 e larghezza 25 (a destra).
$ \text{Area della regione ombreggiata} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 $

Area superficiale di una scatola aperta: Trova l'area superficiale totale della scatola, aperta nella parte superiore. $Dimensioni della scatola rettangolare aperta$

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Per trovare l'area superficiale di una scatola aperta, calcoliamo l'area della base (12 per 9) e aggiungiamo due volte l'area della parte anteriore (12 per 11) e due volte l'area del lato destro (11 per 9). Non includiamo la faccia superiore.

Usando le dimensioni fornite nel grafico, calcola le singole facce rettangolari.
$ \text{Area superficiale totale} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 $.

Geometria analitica: Se il quadrilatero ABCD è un parallelogramma, quali sono le coordinate del punto D? $Griglia coordinata che mostra i punti A, B e C$

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Affinché ABCD sia un parallelogramma, i lati opposti devono essere paralleli e di lunghezza uguale. Usando i vettori, affinché ABCD sia un parallelogramma i vettori $ \vec{AB} $ e $ \vec{DC} $ devono essere uguali.

Componenti di $ \vec{AB} = \lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt $.
Sia $ (a,b) $ le coordinate del punto D.
Componenti di $ \vec{DC} = \lt 7-a , 2 - b \gt $.
I vettori sono uguali se le loro componenti sono uguali, quindi le equazioni: $ 7 - a = 6 $ e $ 2 - b = 0 $.
Risolvi le equazioni per trovare: $ a = 1 $ e $ b = 2 $
Il punto D si trova in (1, 2).

Triangoli rettangoli: Quali dei triangoli mostrati sono triangoli rettangoli? $Quattro triangoli etichettati A, B, C, D$

Suggerimento: In un triangolo rettangolo, $ a^2 + b^2 = c^2 $ (Teorema di Pitagora) e un angolo deve essere pari a $ 90^{\circ} $.

Visualizza la soluzione passo dopo passo

A: Gli angoli sono dati nel triangolo A: Il terzo angolo è pari a $ 180-62-28 = 90^{\circ} $, il triangolo A è un triangolo rettangolo
B: I lati sono dati nel triangolo B: Usa il Teorema di Pitagora assumendo che il lato più lungo di lunghezza $ 5 $ sia l'ipotenusa: $ 3^2 + 3,9^2 = 24,21 $ non è uguale a $ 5^2 $ e quindi il triangolo B NON è un triangolo rettangolo.
C: I lati sono dati nel triangolo C: Usa il Teorema di Pitagora assumendo che il lato più lungo di lunghezza $ 15 $ sia l'ipotenusa: $ 9^2 + 12^2 = 225 $ è uguale a $ 15^2 = 225 $ e quindi il triangolo C è un triangolo rettangolo.
I triangoli A e C sono triangoli rettangoli.

Angoli del triangolo: Trova l'angolo esterno $ x $ se il triangolo ABC è un triangolo rettangolo con angolo B = $ 90^{\circ} $. $Triangolo rettangolo con un angolo esterno x$

Suggerimento: Gli angoli interni sommano a $ 180^{\circ} $. Gli angoli esterni e il loro angolo interno adiacente sono supplementari (sommano a $ 180^{\circ} $).

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Innanzitutto, determina l'angolo interno mancante usando la regola secondo cui la somma degli angoli interni è $ 180^{\circ} $ nel triangolo ABC.
L'angolo interno adiacente a $ x $ è $ 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} $.
Poiché $ x $ forma una linea retta con quell'angolo interno e l'angolo di $ 35^{\circ} $, devono sommare a $ 180^{\circ} $.
$ x + 43 + 35 = 180^{\circ} $
Risolvi per $ x $: $ x = 102^{\circ} $

Triangoli simili: Trova tutti i lati sconosciuti $ x, y, z $ e $ w $ se tutti e tre i triangoli sono simili. $Tre triangoli simili di scala crescente$

Suggerimento: Quando due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti sono proporzionali: $ \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Per trovare i lati mancanti, imposta i rapporti usando i lati corrispondenti dei triangoli simili.

$ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} $
$ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $
Risolvi le equazioni: $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} $, $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} $, $ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} $ e $ \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $ per ottenere.
$ x = 9 $
$ y = 51 $
$ z = 144 $
$ w = 36 $

Riflessione coordinata: Un quadrilatero con vertici (-2,6), (6,8), (9,2) e (4,-1) viene riflesso rispetto all'asse x. Quali sono le coordinate dei vertici dopo la riflessione?

Suggerimento: Riflessione rispetto all'asse x: $ (x,y) \to (x,-y) $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Per riflettere un punto rispetto all'asse x, la coordinata x rimane la stessa e la coordinata y cambia segno.

$ (-2, 6) \to $ $ (-2, -6) $
$ (6, 8) \to $ $ (6, -8) $
$ (9, 2) \to $ $ (9, -2) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Scale dei volumi: Il lato del cubo A è 3 volte il lato del cubo B. Il volume del cubo A è 3.375 piedi cubi. Trova il volume del cubo B.

Suggerimento: $ V = s^3 $

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Metodo 1: Fattore di scala

Se il rapporto tra le lunghezze dei lati è 3:1, il rapporto dei volumi è al cubo: $ 3^3 : 1^3 = 27:1 $.
Ciò significa che il cubo A ha un volume 27 volte maggiore del cubo B.
$ 3375 \div 27 = $ $ 125 \text{ piedi cubi} $.

Metodo 2: Algebra

$ V_A = (s_A)^3 = 3375 $. Pertanto, $ s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ piedi} $.
Poiché $ s_A = 3 \times s_B $, allora $ 15 = 3 \times s_B $, quindi $ s_B = 5 \text{ piedi} $.
$ V_B = (5)^3 = $ $ 125 \text{ piedi cubi} $.

Scale delle aree (Rettangoli simili): La lunghezza del rettangolo A è 24 cm e la lunghezza del rettangolo B è 96 cm. I due rettangoli sono simili. Trova il rapporto tra l'area di A e l'area di B.

Suggerimento: Il rapporto tra le aree di figure simili è il quadrato del rapporto dei loro lati corrispondenti.

Visualizza la soluzione passo dopo passo

Trova il rapporto delle loro lunghezze corrispondenti: $ \dfrac{24}{96} $.
Semplifica il rapporto dei lati: $ \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} $.
Per trovare il rapporto delle aree, eleva al quadrato il rapporto dei lati: $ \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} $.
Il rapporto tra l'area di A e l'area di B è 1:16.

Problemi e domande di geometria per l'8° anno con risposte

Domande di pratica

Link e riferimenti