Come si trova il Massimo Comun Divisore (MCD) di due numeri?

Per trovare l'MCD, scrivi la scomposizione in fattori primi di ciascun numero e moltiplica i fattori primi comuni. Ad esempio, l'MCD tra 100 e 180 è 20.

Come si verifica se un numero è divisibile per 6?

Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 (termina con un numero pari) sia per 3 (la somma delle sue cifre è un multiplo di 3).

Come si calcola la probabilità di due eventi indipendenti?

Moltiplica la probabilità del primo evento per la probabilità del secondo evento. Ad esempio, il lancio di una moneta (1/2) e il lancio di un numero specifico su un dado (1/6) hanno una probabilità combinata di 1/12.

Test di pratica di matematica per l'8° anno: Domande e soluzioni passo dopo passo

Valuta le seguenti espressioni:
a) $[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
b) $[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$

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a)
$[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
$= [8 + 3] \times [-12 - 4]$
$= 11 \times (-16) = -176$

b)
$[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$
$= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]$
$= [4 + 3] \times [-16 - 4]$
$= 7 \times (-20) = -140$

Quale dei seguenti numeri NON è un numero razionale?
a) $0.2$ b) $\pi$ c) $\dfrac{2}{5}$

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Risposta: b) $\pi$

$\pi$ NON è un numero razionale perché non può essere espresso come una semplice frazione di due interi.

Qual è il valore della cifra 5 nel numero 34.6597?

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La cifra 5 si trova nella posizione dei centesimi, rendendo il suo valore $0.05$ o $\dfrac{5}{100}$.

Qual è il termine successivo nella successione? $3, 6, 9, 12, \ldots$

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Notiamo che passando da un termine a quello successivo aggiungiamo $3$; quindi il termine successivo è uguale a: $12 + 3 = 15$.

Qual è il termine successivo nella successione? $1, 3, 9, 27, \ldots$

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Notiamo che passando da un termine a quello successivo moltiplichiamo per $3$; quindi il termine successivo è dato da: $27 \times 3 = 81$.

Una successione di numeri è definita da $2n + 1$ per $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Trova i primi cinque termini della successione partendo da $n = 1$.
b) La data successione è aritmetica, geometrica o nessuna delle due?

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a) Sostituisci $n = 1, 2, 3, 4, 5$ nell'espressione $2n + 1$:
Per $n=1$, $2(1)+1 = 3$
Per $n=2$, $2(2)+1 = 5$
Per $n=3$, $2(3)+1 = 7$
Per $n=4$, $2(4)+1 = 9$
Per $n=5$, $2(5)+1 = 11$

b) Passando da un termine a quello successivo, aggiungiamo 2, quindi è una successione aritmetica con una differenza comune pari a 2.

Una successione di numeri è definita da $3 \times 2^{n-1}$ per $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Trova i primi cinque termini della successione partendo da $n = 1$.
b) La data successione è aritmetica, geometrica o nessuna delle due?

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a) Sostituisci $n = 1, 2, 3, 4, 5$ nell'espressione $3 \times 2^{n-1}$:
Per $n=1$, $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3$
Per $n=2$, $3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6$
Per $n=3$, $3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12$
Per $n=4$, $3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24$
Per $n=5$, $3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48$

b) Passando da un termine a quello successivo, moltiplichiamo per 2, quindi è una successione geometrica con un rapporto comune pari a 2.

Gli insiemi $S_1$ e $S_2$ sono definiti come: $S_1 = \{0, 2, 9, 12\}$ e $S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}$. Trova gli elementi di:
a) $S_1 \cap S_2$
b) $S_1 \cup S_2$

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a) L'intersezione di due insiemi è l'insieme di tutti gli elementi comuni a entrambi gli insiemi. Pertanto $S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}$.

b) L'unione di due insiemi è l'insieme di tutti gli elementi presenti nei due insiemi (senza ripetizioni). Pertanto $S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}$.

Sia $Q$ = Tutti i numeri razionali, $P$ = Tutti i numeri irrazionali, $R$ = Tutti i numeri reali. Quale affermazione è vera?
a) $Q \cap P = R$ b) $Q \cup P = R$ c) $Q \cup P = \text{Insieme Vuoto}$ d) $Q \cap P = \text{Insieme Vuoto}$

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Qualsiasi numero reale è razionale o irrazionale ma non entrambi, quindi $Q \cap P = \text{Insieme Vuoto}$ è vero. L'insieme di tutti i numeri reali è l'unione dei numeri razionali e irrazionali, quindi $Q \cup P = R$ è vero.

Le affermazioni b) e d) sono vere.

Esprimi come prodotto di fattori primi: a) 345 b) 150 c) 210

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a) $345 = 3 \times 5 \times 23$

b) $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5$

c) $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Qual è il Massimo Comun Divisore (MCD) di 100 e 180?

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Il Massimo Comun Divisore di 100 e 180 è 20.

Qual è il Minimo Comune Multiplo (mcm) di 100 e 15?

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Il Minimo Comune Multiplo di 100 e 15 è 300.

Quale numero è divisibile per 3? a) 101899 b) 900234 c) 134567280

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Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

a) 101899: Somma = $1+0+1+8+9+9 = 28$. (Non divisibile)

b) 900234: Somma = $9+0+0+2+3+4 = 18$. (Sì, divisibile)

c) 134567280: Somma = $1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36$. (Sì, divisibile)

Quale numero è divisibile per 4? a) 189001 b) 1005612 c) 1003456024

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Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre a destra formano un numero divisibile per 4.

a) 189001: Ultime due cifre $01$. (Non divisibile)

b) 1005612: Ultime due cifre $12$. (Sì, divisibile)

c) 1003456024: Ultime due cifre $24$. (Sì, divisibile)

Quale numero è divisibile per 6? a) 234 b) 12345 c) 12114290910

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Affinché un numero sia divisibile per 6, deve essere divisibile per 2 (pari) e per 3.

a) 234: Pari, somma delle cifre $2+3+4=9$ (Sì, divisibile)

b) 12345: Dispari (Non divisibile per 2, quindi non divisibile per 6)

c) 12114290910: Pari, somma delle cifre $30$. (Sì, divisibile)

Quali coppie di frazioni sono equivalenti?
a) $\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}$ b) $\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}$ c) $\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}$

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Inizia con la frazione ai minimi termini e moltiplica per un fattore per ottenere la seconda frazione.

a) Moltiplica numeratore e denominatore di $\dfrac{7}{3}$ per 5 per ottenere $\dfrac{35}{15}$. Questo non corrisponde a $\dfrac{10}{15}$. (Non equivalenti)

b) Moltiplica numeratore e denominatore di $\dfrac{2}{3}$ per 4 per ottenere $\dfrac{8}{12}$. (Equivalenti)

c) Moltiplica numeratore e denominatore di $\dfrac{7}{12}$ per 3 per ottenere $\dfrac{21}{36}$. (Equivalenti)

Valuta:
a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}$ b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$ c) $\dfrac{11}{2} \div 4$
d) $4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}$ e) $1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)$

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a) mcm di $5, 10, 15$ è $30$. $\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}$

b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$. Scomponi in fattori: $\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}$. Semplifica i fattori comuni per ottenere $\dfrac{1}{8}$

c) Moltiplica per il reciproco: $\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}$

d) Raggruppa le parti intere e le frazioni: $(4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}$

e) Converti in frazioni: $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}$

Scrivi come frazioni in forma ridotta: a) $0.2 \div 0.6$ b) $1 \div 0.4$

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a) $0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

b) $1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}$

Dalia spende un quarto del suo stipendio in cibo e bevande. Ne spende un quinto in bibite analcoliche e un sesto di quello in biscotti. Che frazione del suo stipendio viene spesa in bibite e biscotti?

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Bibite: $\dfrac{1}{5}$ di $\dfrac{1}{4}$ del suo stipendio.

Biscotti: $\dfrac{1}{6}$ di $\dfrac{1}{4}$ del suo stipendio.

Totale: $\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}$

James spende 2 ore/giorno per i compiti da lunedì a venerdì. Ben ne spende $\dfrac{3}{4}$; Linda ne spende $\dfrac{5}{4}$. Quante ore vi dedicano in una settimana?

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James: $2 \times 5 = 10$ ore di compiti nei giorni feriali.

Ben: $\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5$ ore di compiti nei giorni feriali.

Linda: $\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5$ ore di compiti nei giorni feriali.

Sara ha preparato 1.5 L di succo. I suoi bicchieri contengono $\dfrac{1}{6}$ L. Quanti bicchieri può riempire?

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Usando i numeri misti, 1.5 L si scrive come $1\dfrac{1}{2}$ o $\dfrac{3}{2}$ L.

Numero di bicchieri = $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9$ bicchieri.

Valuta:
a) $(-2)^3 - 5^3 + (-3)^4$
b) $(-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}$
c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}$

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a) $-8 - 125 + 81 = -52$

b) $\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1$

c) $\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}$

Scrivi in forma esponenziale (base dieci): a) 10000 b) 0.0000001 c) $\dfrac{1}{100000}$

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a) $10^4$ b) $10^{-7}$ c) $\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}$

Scrivi in notazione scientifica: a) $12.4 \times 10^3$ b) $0.0023 \times 10^{-2}$ c) $\dfrac{12}{100000}$

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a) $1.24 \times 10^4$ b) $2.3 \times 10^{-5}$ c) $\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}$

Semplifica: a) $\sqrt{16}$ b) $\sqrt{9}$ c) $\sqrt[3]{8}$

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a) 4 perché $4^2=16$ b) 3 perché $3^2=9$ c) 2 perché $2^3=8$

Riduci in forma semplice: a) $\sqrt{3 \times 25}$ b) $\sqrt{36 \times 5}$ c) $\sqrt[3]{8 \times 7}$

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a) $\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}$ b) $\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ c) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Leila ha camminato per 5 ore. Il grafico fornisce la distanza $d$ in funzione del tempo $t$.
a) Scrivi un'equazione $d = kt$.
b) Se è partita alle 8:00, a che ora si trovava a 10 km di distanza? $Grafico distanza-tempo$

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a) Usa un punto sul grafico. Ad esempio, quando $t = 1$, $d = 4$. Sostituisci $t$ con 1 e $d$ con 4 nell'equazione $d = k \times t$ per ottenere $4 = k \times 1$, quindi $k = 4$. La relazione è $d = 4t$.

b) Trova il tempo necessario a Leila per camminare $d = 10$ km risolvendo l'equazione $10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2.5$ ore. 2.5 ore possono essere scritte come 2:30. Si trova a 10 km di distanza alle: 8:00 + 2:30 = 10:30.

La tabella indica che $y$ è proporzionale a $x$? $Tabelle di proporzionalità$
a) Se sì, trova $k$ tale che $y = kx$.
b) Trova $y$ per $x=10.2$.

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Una colonna che contiene il rapporto $y / x$ è stata aggiunta e mostra che $y / x$ è costante ed è uguale a 3. Quindi $y$ è proporzionale a $x$.

$Soluzione tabelle di proporzionalità$

a) Poiché $y / x = 3$, possiamo scrivere $y = 3x$. Quindi $k = 3$.

b) $y = 3 \times 10.2 = 30.6$.

Un rubinetto riempie 10 L in 2 min, 20 L in 4 min, 30 L in 6 min.
a) Traccia i punti con $V$ sull'asse verticale e $t$ su quello orizzontale.
b) $V$ è proporzionale a $t$?
c) Se sì, trova $k$ tale che $V = kt$.
d) Trova il tempo per riempire 100 L.

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a) Dalle informazioni fornite, possiamo scrivere tre punti $(V, t)$: $(2,10)$, $(4,20)$ e $(6,30)$ che sono tracciati di seguito.

$Volume contro tempo$

b) I tre punti si trovano sulla stessa linea passante per l'origine e pertanto vi è una relazione di proporzionalità tra $V$ e $t$.

c) La costante di proporzionalità $k$ è $V \div t$. $k = 10 \div 2 = 5$. Quindi $V = 5t$.

d) Sostituisci $V=100$ nell'equazione: $100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20$ minuti.

Un articolo costa 120 $ e aumenta del 12%. Qual è il nuovo prezzo?

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Prezzo dopo l'aumento = 120 $ + 12% di 120 $.

Scritto matematicamente: $120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = \$134.40$.

Jimmy spende il 50% del suo stipendio in affitto + bollette, e il 15% di tale importo in bollette. Che percentuale del suo stipendio totale viene spesa in bollette?

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Percentuale spesa in bollette = 15% del 50% del suo stipendio.

Scritto matematicamente: $\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%$.

Un pasto costa 40 $. La tassa è del 15%; la mancia è del 5% dell'importo tassato. Qual è il costo totale?

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Costo dopo le tasse = $40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = \$46$.

Costo dopo la mancia = $46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = \$48.30$.

Kamelea guadagna $ \$5000 $ e spende: $ \$400 $ in vestiti, $ \$1200 $ d'affitto, $ \$200 $ in bollette, $ \$1200 $ in cibo/svago, $ \$600 $ per l'auto, e risparmia il resto. Che percentuale viene risparmiata?

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Spese di Kamelea = $\$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600$.

Risparmi = Stipendio - spese = $\$5000 - \$3600 = \$1400$.

Risparmi di Kamelea in percentuale dello stipendio = $\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%$.

Il 10% di un terzo di un numero è 3. Qual è il numero?

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Sia $x$ il numero sconosciuto. $\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3$.

$\dfrac{10x}{300} = 3$. Moltiplica entrambi i lati per 300 per ottenere $10x = 900 \rightarrow x = 90$.

La benzina è salita da $ \$3 $ a $ \$4 $ al gallone negli Stati Uniti e da 1.5 € a 2 € al litro in Francia. Quale ha registrato un aumento percentuale maggiore?

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Aumento percentuale della benzina negli Stati Uniti = $\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%$.

Aumento percentuale della benzina in Francia = $\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%$.

Entrambi hanno registrato esattamente lo stesso aumento percentuale.

Converti 10.5 ft in metri dato che 1 m = 3.28084 ft.

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Dividi entrambi i lati dell'uguaglianza per 3.28084 ft per ottenere $\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1$.

$10.5 \text{ ft} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 3.20039 \text{ m}$.

Converti 1.3 km in iarde dato che 1 km = 1093.61 yd.

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$1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}$.

Converti $1.2 \text{ m}^2$ in $\text{yd}^2$ dato che 1 m = 1.09361 yd.

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Eleva al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza data per ottenere $1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2$.

$1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2$.

Converti 100 km/h in m/s.

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$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ e $1 \text{ h} = 3600 \text{ s}$.

$\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ s}} \approx 27.77777 \text{ m/s}$.

Valuta $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$ per $x=1$.

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Sostituisci $x$ con 1: $\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}$.

Valuta $\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1$ per $x=-5$.

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Sostituisci $x$ con -5: $\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25$.

Valuta $2^a - \sqrt{b^2}$ per $a=2$, $b=-2$.

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Sostituisci $a$ con 2 e $b$ con -2: $2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

Semplifica: a) $3(x+2) + x - 12$ b) $\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4$ c) $0.2(5x+10) + 3x - 4$

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a) $3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6$

b) $\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8$

c) $0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2$

Semplifica: a) $2x \cdot 3x$ b) $\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x$ c) $3x^2 \cdot 5x^3$

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a) $(2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2$

b) $\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2$

c) $(3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5$

Fattorizza: a) $21x + 7$ b) $24 - 20x$ c) $8b - 4a + 32$

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a) Il massimo comun divisore di 21 e 7 è 7. $7(3x + 1)$

b) Il massimo comun divisore di 24 e 20 è 4. $4(6 - 5x)$

c) Il massimo comun divisore di 8, 4 e 32 è 4. $4(2b - a + 8)$

Risolvi le equazioni:
a) $3(x - 2 ) = 3$
b) $2(9 - x) = - (x + 5)$
c) $\dfrac{x+1}{3} = 6$
d) $4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15$
e) $x - \dfrac{x}{2} = 3$

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a) $3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$

b) $18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23$

c) Moltiplica per 3: $x + 1 = 18 \rightarrow x = 17$

d) $4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4$

e) Moltiplica per 2: $2x - x = 6 \rightarrow x = 6$

Un giardino rettangolare ha una lunghezza di 12 m e una larghezza di 8 m. Un percorso di larghezza $x$ viene costruito attorno al giardino in modo che il perimetro esterno sia il doppio del perimetro originale. $Giardino rettangolare con percorso$
a) Scrivi un'equazione in $x$.
b) Risolvi per $x$.
c) Trova la lunghezza e la larghezza del perimetro esterno.
d) Trova l'area totale (giardino + percorso).
e) Trova l'area del giardino.
f) Trova l'area del percorso.

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a) Lunghezza del perimetro esterno: $L = 12 + 2x$. Larghezza: $W = 8 + 2x$. Perimetro esterno = $2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x$. Perimetro del giardino (bianco) = $2(12) + 2(8) = 40$. L'esterno è il doppio del giardino, quindi $40 + 8x = 2 \times 40$.

b) $40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}$.

c) Lunghezza = $12 + 2(5) = 22 \text{ m}$, Larghezza = $8 + 2(5) = 18 \text{ m}$.

d) Area totale = $22 \times 18 = 396 \text{ m}^2$.

e) Area del giardino = $12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$.

f) Area del percorso = Area totale - Area del giardino = $396 - 96 = 300 \text{ m}^2$.

Quando si sottrae 10 dal doppio di un numero e il risultato viene moltiplicato per un mezzo, la risposta è 5. Qual è il numero originale?

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Sia $x$ il numero originale. "10 viene sottratto dal doppio di un numero" è $2x - 10$. "Il risultato viene moltiplicato per un mezzo" è $\dfrac{1}{2}(2x - 10)$. La risposta è 5: $\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5$.

Moltiplica entrambi i lati per 2: $2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10$.

Risolvi: a) $x + 2 < 4$ b) $2(x + 3) \ge 2$ c) $-3x + 2 \le 11$ d) $\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3$

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a) $x < 2$

b) $2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2$

c) $-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3$ (cambia il verso della disuguaglianza perché -3 è negativo).

d) $4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2$

Quale delle coppie ordinate rappresenta una funzione?
a) $\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}$
b) $\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}$
c) $\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}$

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Una funzione è una relazione tra due insiemi tale che a ciascun input corrisponde un solo output.

La relazione b) è una funzione. L'opzione a) ha l'input 5 associato a 7 e 9. L'opzione c) ha l'input 9 associato a 4 e 0.

Quale dei grafici sottostanti può essere il grafico di una funzione lineare? Trova la sua equazione. $Grafico di funzioni$

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Il grafico (3) è una linea retta ed è quindi il grafico di una funzione lineare.

Trova due punti (0,2) e (2,6) e calcola la pendenza: $ m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 $

Scrivi l'equazione della retta in forma intercetta-pendenza: $ y = 2 + 2x $

Dato $y = 2x + 1$:
a) Trova $y$ per $x = 0$ e $x = 1$.
b) Usa questi valori per tracciare il grafico di $y = 2x + 1$.

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a) Per $x=0$, $y = 2(0)+1 = 1$. Per $x=1$, $y = 2(1)+1 = 3$. Le coppie ordinate sono $(0, 1)$ e $(1, 3)$.

b) Il grafico di una funzione lineare è una linea retta. Le due coppie ordinate ottenute possono essere utilizzate per tracciare la funzione come mostrato di seguito.

$Grafico della funzione y = 2x + 1$

Due funzioni sono rappresentate graficamente di seguito. $Grafico di funzioni lineari$
a) Senza calcoli, quale ha il tasso di variazione maggiore?
b) Trova le coordinate di due punti su ciascuna.
c) Calcola ciascun tasso di variazione per confermare (a).

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a) La funzione corrispondente al grafico (1) ha un tasso di variazione maggiore perché cresce più rapidamente all'aumentare di $x$.

$Grafico di funzioni lineari con punti$

b) Punti sul Grafico (1): $(0,1)$ e $(3,7)$. Punti sul Grafico (2): $(0,3)$ e $(8,8)$.

c) Tasso 1: $\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2$. Tasso 2: $\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8$. I calcoli confermano che il tasso di variazione di (1) è maggiore.

I cateti di un triangolo rettangolo misurano 6 cm e 8 cm. Qual è la lunghezza dell'ipotenusa?

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Sia $h$ l'ipotenusa. Usando il teorema di Pitagora: $h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.

Tre linee rette si intersecano in $O$. Dati $\angle AOB = 31^\circ$ e $\angle AOC = 79^\circ$, trova $\angle EOF$. $Angoli opposti al vertice$

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Nota che $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$. Quindi $79^\circ = 31^\circ + \angle BOC$. Pertanto $\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ$.

Gli angoli $\angle BOC$ e $\angle EOF$ sono opposti al vertice e quindi hanno la stessa ampiezza. $\angle EOF = 48^\circ$.

Quante linee di simmetria ha un quadrato?

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Un quadrato ha 4 linee di simmetria come mostrato di seguito.

$Linee di simmetria di un quadrato$

Dato $m\angle 1 = 40^\circ$, trova le misure di tutti e otto gli angoli nell'intersezione di rette parallele. $Rette parallele e intersecanti$

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Gli angoli $m\angle 1$ e $m\angle 2$ sono supplementari e sommano a $180^\circ$. Quindi $m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

$m\angle 1$ e $m\angle 3$ sono opposti al vertice (uguali). $m\angle 3 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ e $m\angle 4$ sono opposti al vertice (uguali). $m\angle 4 = 140^\circ$.

$m\angle 1$ e $m\angle 5$ sono corrispondenti (uguali). $m\angle 5 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ e $m\angle 6$ sono corrispondenti (uguali). $m\angle 6 = 140^\circ$.

$m\angle 4$ e $m\angle 8$ sono corrispondenti (uguali). $m\angle 8 = 140^\circ$.

$m\angle 3$ e $m\angle 7$ sono corrispondenti (uguali). $m\angle 7 = 40^\circ$.

Calcola l'area di un cerchio con un diametro di 20 cm.

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Raggio $r = \text{Diametro} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}$. Area $= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2$.

Calcola l'area di un triangolo rettangolo con un cateto di 16 cm e un'ipotenusa di 20 cm.

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Usa il teorema di Pitagora per trovare il secondo cateto $b$: $b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}$.

Area $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2$.

Nella figura, ABDE è un quadrato e FC è una linea di simmetria. Trova l'area della freccia blu. $Area della freccia$

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Per via della simmetria, calcoliamo l'area della parte inferiore della freccia che è un trapezio.

$Area di mezza freccia$

Area del trapezio $= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}$.

$\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24$. $\overline{ED} = 16$. $\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8$.

Area $= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160$.

L'area della freccia è il doppio del trapezio: $2 \times 160 = 320 \text{ unit}^2$.

Trova l'area della figura delimitata da un semicerchio (diametro DE) e un triangolo isoscele ABG. Arrotonda a due cifre decimali. $Area della figura composta$

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Scomponiamo la figura data in figure di base le cui aree sono facilmente calcolabili usando le formule.

$Area della figura composta scomposizione$

Area del triangolo isoscele ABG $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

Area del trapezio BCFG $= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5$

Area del trapezio CDEF $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6$

Area del semicerchio di diametro DE $= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53$

Area totale $= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ mm}^2$.

Trova il volume e l'area superficiale (esclusa la base inferiore) di un silo costituito da un cilindro ($h = 10$ m) e un emisfero ($r = 6$ m) sopra. $Cilindro e semi-sfera$

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$Cilindro e semi-sfera soluzione$

Il volume della metà della sfera $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3$

Il volume del cilindro $= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3$

L'area superficiale della metà della sfera $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2$

L'area superficiale del cilindro (senza la base) $= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2$

Volume totale del silo $= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3$

Area superficiale totale del silo $= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2$

Un prisma rettangolare viene diviso diagonalmente in due prismi triangolari congruenti. Trova il volume e l'area superficiale di un prisma triangolare. $Prisma triangolare diviso$

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Per via della simmetria, il volume del prisma triangolare è la metà del volume del prisma rettangolare.

$Soluzione prisma triangolare$

Volume del prisma rettangolare $= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ unit}^3$. Volume del prisma triangolare $= 36 \text{ unit}^3$.

L'area superficiale è la metà dell'area superficiale del prisma rettangolare più l'area del rettangolo formato dalle diagonali rosse.

Area superficiale del prisma rettangolare $= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ unit}^2$.

Usa il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza $d$ della diagonale: $d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5$.

Area della sezione rettangolare $= 5 \times 6 = 30 \text{ unit}^2$.

Area superficiale del prisma triangolare $= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ unit}^2$.

Il diagramma a linee mostra le temperature massime medie (°C) per 12 mesi a Ottawa.
a) Temperatura massima media del mese più freddo?
b) Temperatura massima media del mese più caldo?
c) Differenza tra il mese più freddo e il più caldo?
d) Minimo aumento tra due mesi consecutivi?
e) Minima diminuzione tra due mesi consecutivi? $Temperatura massima media a Ottawa$

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a) Gennaio ha la temperatura media più bassa di $-5^\circ\text{C}$.

b) Luglio ha la temperatura media più alta di $26^\circ\text{C}$.

c) Differenza $= 26 - (-5) = 31^\circ\text{C}$.

d) Il minimo aumento si registra da gennaio a febbraio e da giugno a luglio.

e) La minima diminuzione si registra da luglio ad agosto.

Punteggi dei test: 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
a) Ordina dal più piccolo al più grande.
b) Trova il range (intervallo).
c) Crea una tabella delle frequenze a partire da 30–39.
d) Crea un istogramma.
e) Se i punteggi inferiori a 60 sono insufficienti, quale percentuale è stata bocciata?

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a) Ordinati: $31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97$.

b) Range = Valore più grande - valore più piccolo $= 97 - 31 = 66$.

c) Inizia con la classe 30-39 e aggiungi l'ampiezza della classe (10) per ottenere le classi rimanenti.

$Tabella delle frequenze$

d) Un istogramma viene realizzato usando il numero di studenti sull'asse verticale e le classi su quello orizzontale.

$Istogramma$

e) I punteggi nelle tre classi 30-39, 40-49 e 50-59 sono inferiori a 60. $1 + 2 + 3 = 6$ insufficienti. Percentuale $= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%$.

Trova la mediana, il quartile inferiore e il quartile superiore di $\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}$.

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Dati ordinati: $\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}$

Mediana: Il valore al centro è 3.

Quartile inferiore: La mediana dei valori dei dati inferiori alla mediana $\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}$ è 2.

Quartile superiore: La mediana dei valori dei dati superiori alla mediana $\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}$ è 9.

Mark ha totalizzato 83, 94, 97, 93 nei suoi primi quattro quiz. Quale punteggio deve ottenere al quinto quiz per avere una media di almeno 90?

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Sia $x$ il punteggio del quinto quiz. La media è almeno 90: $\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90$

Moltiplica per 5: $367 + x \ge 450$.

Risolvi per $x$: $x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83$. Mark deve ottenere almeno 83.

Lanciando un normale dado a 6 facce, qual è la probabilità di ottenere un numero pari?

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Spazio campionario = $\{1,2,3,4,5,6\}$. Insieme dei numeri pari = $\{2,4,6\}$.

Probabilità $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Lanciando una moneta e un dado: a) Probabilità di ottenere testa e un 4? b) Probabilità di ottenere testa e un numero dispari?

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a) La probabilità di ottenere testa è $1/2$. La probabilità di 4 è $1/6$. Eventi indipendenti: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

b) La probabilità di ottenere testa è $1/2$. La probabilità di un numero dispari è $3/6 = 1/2$. Eventi indipendenti: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

Ben seleziona una carta da un insieme di 3 carte etichettate (1), (2), (3), la rimette a posto e pesca di nuovo. a) Probabilità di estrarre 3 due volte? b) Probabilità di estrarre lo stesso numero entrambe le volte?

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a) Vi è 1 esito con 3 in entrambe le selezioni $(3,3)$ su $3 \times 3 = 9$ esiti possibili. Probabilità $= \dfrac{1}{9}$.

b) Tre dei 9 esiti hanno lo stesso numero: $(1,1), (2,2), (3,3)$. Probabilità $= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

In un sondaggio: 5 studenti preferiscono il blu, 6 preferiscono il marrone, su un totale di 20. Qual è la probabilità che uno studente selezionato a caso non ne preferisca nessuno dei due?

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Se 5 hanno detto blu e 6 marrone, allora $20 - 5 - 6 = 11$ hanno scelto nessuno dei due.

La probabilità è $\dfrac{11}{20}$.

Test di pratica di matematica per l'8° anno e soluzioni

Domande di pratica e soluzioni

1 - Numeri

2 - Successioni

3 - Insiemi

4 - Fattori, multipli e divisibilità

5 - Frazioni e numeri misti

6 - Esponenti e notazione scientifica

7 - Radici

8 - Proporzionalità

9 - Percentuali

10 - Conversione di unità

11 - Valutazione di espressioni

12 - Algebra

13 - Equazioni e problemi verbali

14 - Disuguaglianze

15 - Funzioni

16 - Figure bidimensionali

17 - Perimetro e area

18 - Volumi e area superficiale

19 - Dati e grafici

20 - Statistica

21 - Probabilità

Link e riferimenti