Esponenti negativi: Domande e soluzioni passo dopo passo - 8° anno

Questa pagina è progettata per aiutare studenti, genitori e insegnanti a padroneggiare il tema degli esponenti negativi attraverso domande accuratamente selezionate e soluzioni passo dopo passo con spiegazioni. Espandi le soluzioni nascoste sotto ogni domanda per rivelare le regole fondamentali e il ragionamento dietro ogni passaggio.

Le domande di questa pagina coprono abilità algebriche essenziali, tra cui:

Riepilogo: Regole fondamentali degli esponenti

Nome della regola Formula
Regola dell'esponente negativo \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Esponente negativo su una frazione \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
Potenza di un prodotto \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Potenza di un quoziente \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Regola dell'esponente zero \( a^0 = 1 \)   (dove \( a \neq 0 \))

Domande di pratica e soluzioni

  1. Semplifica l'espressione: \( 5^{-2} \)
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    Passo 1: Applica la regola dell'esponente negativo \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \).
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    Passo 2: Valuta il quadrato al denominatore.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. Valuta: \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
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    Passo 1: Usa la regola dell'esponente negativo per le frazioni \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \). Capovolgi la frazione e rendi l'esponente positivo.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    Passo 2: Semplifica la frazione all'interno delle parentesi.
    \[ = (-3)^2 \]
    Passo 3: Un numero negativo al quadrato diventa positivo.
    \[ = 9 \]
  3. Semplifica l'espressione: \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
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    Passo 1: Applica la regola dell'esponente negativo per spostare i fattori attraverso la linea di frazione. Un esponente negativo al numeratore si sposta al denominatore, e un esponente negativo al denominatore si sposta al numeratore.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    Passo 2: Semplifica.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. Valuta: \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
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    Passo 1: Riscrivi ciascun termine usando la regola dell'esponente negativo.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    Passo 2: Valuta gli esponenti.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    Passo 3: Moltiplica le frazioni.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. Semplifica l'espressione: \( -2^{-3} \)
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    Passo 1: Comprendi l'ordine delle operazioni. L'esponente si applica solo alla base 2, non al segno negativo.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    Passo 2: Applica la regola dell'esponente negativo alla base.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    Passo 3: Valuta l'esponente.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. Valuta: \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
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    Passo 1: Applica gli esponenti prima dell'addizione o della negazione. Nota che in \( -1^{-3} \), l'esponente si applica solo all'1.
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    Passo 2: Valuta i denominatori.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    Passo 3: Trova un denominatore comune per sommare i termini.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. Valuta: \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
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    Passo 1: Qui le parentesi indicano che il segno negativo fa parte della base. Applica la regola dell'esponente negativo.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    Passo 2: Valuta gli esponenti. Un numero negativo elevato a una potenza pari è positivo.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    Passo 3: Trova un denominatore comune per sommare.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. Semplifica l'espressione: \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
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    Passo 1: Considera il primo termine. L'esponente \(-2\) si applica solo al 4, non al segno negativo.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    Passo 2: Valuta gli esponenti.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    Passo 3: Moltiplica e semplifica la frazione.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. Valuta: \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
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    Passo 1: Applica la regola dell'esponente negativo al primo termine e ricorda la regola dell'esponente zero (\(a^0 = 1\)) per il secondo termine.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    Passo 2: Valuta l'esponente. Un numero negativo elevato a una potenza dispari rimane negativo.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    Passo 3: Semplifica.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. Valuta: \( 0^{-3} \)
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    Passo 1: Riscrivi usando la regola dell'esponente negativo.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    Passo 2: Valuta il denominatore.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    Passo 3: La divisione per zero è matematicamente impossibile. Pertanto, l'espressione è non definita.

Link e riferimenti