Domande di pratica e soluzioni
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Un'automobile ha viaggiato per 281 miglia in 4 ore e 41 minuti. Qual era la velocità media dell'auto in miglia all'ora?
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Innanzitutto convertiamo il tempo di 4 ore e 41 minuti in ore:
\[ 4\ \text{ore} + 41\ \text{minuti} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{ore} \]La velocità media \( S \) è data dalla distanza divisa per il tempo:
\[ S = \dfrac{281\ \text{miglia}}{\dfrac{281}{60}\ \text{ore}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{miglia all'ora} \] -
Risolvi per \( x \):
\[ 5x - 7 = 3x + 9 \]Visualizza la soluzione passo dopo passo
Partendo da \( 5x - 7 = 3x + 9 \):
Sottrai \( 3x \) da entrambi i lati: \( 2x - 7 = 9 \)
Aggiungi 7 a entrambi i lati: \( 2x = 16 \)
Dividi entrambi i lati per 2: \( x = 8 \)
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Risolvi il sistema di equazioni:
\[ 2x + 3y = 12 \]
\[ 4x - y = 7 \]Visualizza la soluzione passo dopo passo
Dalla seconda equazione \( 4x - y = 7 \), ricava \( y \): \( y = 4x - 7 \)
Sostituisci \( y \) nella prima equazione \( 2x + 3y = 12 \):
\[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]Sostituisci nuovamente \( x \) in \( y = 4x - 7 \):
\[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \] -
Semplifica l'espressione:
\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]Visualizza la soluzione passo dopo passo
Innanzitutto, semplifica ciascuna radice quadrata trovando i fattori quadrati perfetti:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]Somma i due termini semplificati: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
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Trova l'area di un trapezio con lati paralleli di lunghezza 10 cm e 14 cm e un'altezza di 6 cm.
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La formula per l'area di un trapezio è \( A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \).
\[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{cm}^2 \] -
La lunghezza di un rettangolo è quattro volte la sua larghezza. Se l'area è 100 m2, qual è la lunghezza del rettangolo?
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Sia \( W \) la larghezza. La lunghezza \( L \) è \( 4W \). La formula dell'area fornisce:
\[ \text{Area} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{m} \]La lunghezza è \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{m} \).
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La lunghezza di un rettangolo viene aumentata a 2 volte la sua dimensione originale e la sua larghezza viene aumentata a 3 volte la sua dimensione originale. Se l'area del nuovo rettangolo è pari a 1800 metri quadrati, qual è l'area del rettangolo originale?
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Sia l'area originale \( A_{\text{original}} = L \times W \).
Le nuove dimensioni sono \( 2L \) e \( 3W \). La nuova area è:
\[ A_{\text{new}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]Risolvendo per l'area originale (\( LW \)): \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{m}^2 \).
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Ciascuna dimensione di un cubo è stata aumentata al doppio della sua dimensione originale. Se il nuovo cubo ha un volume di 64.000 centimetri cubi, qual è l'area di una faccia del cubo originale?
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Sia \( x \) la lunghezza originale dello spigolo. La nuova lunghezza dello spigolo è \( 2x \).
Il nuovo volume è \( (2x)^3 = 8x^3 = 64.000 \).
\[ x^3 = 8.000 \implies x = \sqrt[3]{8.000} = 20\ \text{cm} \]L'area di una faccia del cubo originale è \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{cm}^2 \).
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La pompa A può riempire un serbatoio d'acqua in 5 ore. La pompa B può riempire lo stesso serbatoio in 8 ore. Quanto tempo impiegano le due pompe lavorando insieme per riempire il serbatoio? (Arrotonda la risposta al minuto più vicino).
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La pompa A riempie \( 1/5 \) del serbatoio all'ora. La pompa B riempie \( 1/8 \) all'ora.
Insieme riempiono: \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \) del serbatoio all'ora.
Il tempo totale \( t = \dfrac{40}{13} \) ore, ovvero \( 3\dfrac{1}{13} \) ore.
Convertendo la frazione in minuti: \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4.6 \) minuti, che arrotondato fa 5 minuti. Il tempo totale è di 3 ore e 5 minuti.
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L'acqua viene pompata, a un tasso costante, in un serbatoio di stoccaggio sotterraneo che ha la forma di un prisma rettangolare. Quale dei grafici sottostanti rappresenta meglio le variazioni dell'altezza dell'acqua nel serbatoio in funzione del tempo?
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Poiché l'acqua viene pompata a un tasso costante, l'altezza deve aumentare linearmente. Il grafico che mostra una linea decrescente o una linea piatta costante non è corretto. Il grafico in basso a sinistra che mostra un'altezza in costante aumento rappresenta correttamente lo scenario.
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Un cateto di un triangolo rettangolo misura 18 cm e la sua area è di 216 centimetri quadrati. Trova il suo perimetro.
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Area = \( \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza} \). Area data = 216 e cateto \( a = 18 \):
\[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{cm} \]Usa il teorema di Pitagora per l'ipotenusa \( c \):
\[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{cm} \]Perimetro = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{cm} \).
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Qual è la somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono con 53 lati?
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La formula per la somma degli angoli interni è \( 180(n - 2) \). Per \( n = 53 \):
\[ \text{Somma} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \] -
Jack è più alto di Sarah ma più basso sia di Malika che di Tania. Malika è più bassa di Tania. Natasha è più bassa di Sarah. Chi è il più basso?
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Dal testo: Natasha < Sarah < Jack. Jack < Malika < Tania.
Combinando queste dimensioni si ottiene l'ordine continuo: Natasha < Sarah < Jack < Malika < Tania. Natasha è la più bassa.
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Qual è l'altezza (uno dei cateti) e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele che ha un'area di 800 piedi quadrati?
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Siano entrambi i cateti pari a \( x \). Area = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{ft} \).
L'ipotenusa \( h \) usando il teorema di Pitagora: \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).
\[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \text{ft} \] -
Trova la circonferenza di un cerchio iscritto all'interno di un quadrato con un lato di 20 metri.
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Il diametro del cerchio iscritto è uguale alla lunghezza del lato del quadrato (20 m), quindi il raggio \( r = 10\ \text{m} \).
Circonferenza \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8\ \text{m} \).
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Due scuole diverse (A e B) hanno lo stesso numero di alunni. Il rapporto tra i maschi nella scuola A e i maschi nella scuola B è 2:1 e il rapporto tra le femmine nella scuola A e le femmine nella scuola B è 4:5. Trova il rapporto tra i maschi nella scuola A e le femmine nella scuola A.
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Siano i maschi in B pari a \( x \), quindi i maschi in A sono \( 2x \). Siano le femmine in B pari a \( 5y \), quindi le femmine in A sono \( 4y \).
Il totale degli alunni è uguale: \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).
Rapporto tra maschi e femmine nella scuola A: \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). Il rapporto è 1:2.
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In una classe, il rapporto tra maschi e femmine è 5:6. Se ci sono 66 studenti in totale, quante femmine ci sono nella classe?
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Siano i maschi = \( 5x \) e le femmine = \( 6x \). Studenti totali = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).
Numero di femmine = \( 6x = 6(6) = 36 \).
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Un sacchetto contiene 5 palline rosse, 3 palline verdi e 2 palline blu. Se viene estratta una pallina a caso dal sacchetto, qual è la probabilità che la pallina sia rossa o blu?
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Palline totali = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). Palline rosse o blu = \( 5 + 2 = 7 \).
Probabilità \( = \dfrac{7}{10} \).
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Una scala è appoggiata contro un muro. La base della scala si trova a 6 metri dal muro e la scala raggiunge un'altezza di 8 metri. Quanto è lunga la scala?
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Il muro, il terreno e la scala formano un triangolo rettangolo. La lunghezza della scala \( L \) è l'ipotenusa:
\[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{m} \] -
Il prezzo di una giacca è aumentato da \( \$80 \) a \( \$100 \). Qual è l'aumento percentuale?
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Aumento = \( \$100 - \$80 = \$20 \).
Aumento percentuale = \( \left( \dfrac{\text{Aumento}}{\text{Originale}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).
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Joe ha guidato alla velocità di 45 miglia all'ora per una certa distanza. Ha poi guidato alla velocità di 55 miglia all'ora per la stessa distanza. Qual è la velocità media per l'intero viaggio?
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Sia la distanza pari a \( d \). Distanza totale = \( 2d \). Tempo totale = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).
Denominatore comune è 495: \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).
Velocità media = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49.5\ \text{mph} \).
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Due palline A e B ruotano lungo una pista circolare. La pallina A compie 2 rotazioni complete in 26 minuti. La pallina B compie 5 rotazioni complete in 35 minuti. Se iniziano a ruotare ora dallo stesso punto, quando si troveranno di nuovo nello stesso punto di partenza?
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Tempo per una rotazione per A = \( 26 / 2 = 13 \) min. Per B = \( 35 / 5 = 7 \) min.
Il tempo in cui si incontrano di nuovo è l'mcm tra 13 e 7, ovvero \( 13 \times 7 = 91 \) minuti.
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I numeri \( x , y , z \) e \( w \) hanno una media pari a 25. La media di \( x , y \) e \( z \) è pari a 27. Trova \( w \).
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Somma di 4 numeri: \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).
Somma dei primi 3 numeri: \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).
Pertanto, \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).
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Peter ha guidato a una velocità costante per 2 ore. Si è poi fermato per un'ora per fare la spesa e riposarsi e poi è tornato a casa guidando a velocità costante. Quale grafico rappresenta meglio le variazioni della distanza da casa mentre Peter guidava?
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La distanza da casa dovrebbe prima aumentare (allontanandosi), rimanere piatta (fare spesa/riposare) e poi diminuire fino a tornare a zero (tornando a casa). Solo il grafico in basso a sinistra mostra esattamente questa traiettoria.
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Inizialmente il prisma rettangolare a sinistra era pieno d'acqua. Successivamente l'acqua è stata versata nel contenitore cilindrico a destra in modo che le altezze dell'acqua in entrambi i contenitori siano uguali. Trova l'altezza \(h\) dell'acqua in entrambi i contenitori (arrotonda la risposta al decimo di centimetro più vicino).
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Volume del prisma di sinistra = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{cm}^3 \). Quest'acqua è condivisa tra il prisma centrale e il cilindro.
Volume del prisma centrale = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). Volume del cilindro = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).
Totale: \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3.14} \approx 7.2\ \text{cm} \).
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La dimensione del perimetro del quadrato ABCD è uguale a 100 cm. La lunghezza del segmento MN è uguale a 5 cm e il triangolo MNC è un triangolo rettangolo isoscele. Trova l'area del pentagono ABNMD.
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Perimetro del quadrato = 100, quindi la lunghezza del lato = 25 cm. Area totale = 625 cm².
Il triangolo MNC è un triangolo rettangolo isoscele con ipotenusa MN = 5. Per il teorema di Pitagora: \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). Poiché \( MC = NC \), \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12.5 \).
Area del triangolo = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12.5) = 6.25\ \text{cm}^2 \).
Area del pentagono = \( 625 - 6.25 = 618.75\ \text{cm}^2 \).
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Dany ha comprato un totale di 20 carte da gioco, alcune delle quali costano 0,25 $ ciascuna e altre 0,15 $ ciascuna. Se Dany ha speso 4,20 $ per comprare queste carte, quante carte di ciascun tipo ha comprato?
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Siano \( X \) = carte da 0,25 $, \( Y \) = carte da 0,15 $.
\[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0.25X + 0.15Y = 4.20 \implies 25X + 15Y = 420 \]Sostituisci \( Y \): \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).
Pertanto, \( Y = 8 \). Ha comprato 12 carte a 0,25 $ e 8 carte a 0,15 $.
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Un dado a sei facce viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che il numero uscito sia un numero pari maggiore di 2?
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Esiti possibili: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Numeri pari maggiori di 2: 4 e 6.
Probabilità = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
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Un contenitore cilindrico ha un raggio di 4 cm e un'altezza di 10 cm. Qual è il suo volume? (Usa \( \pi \approx 3.14 \))
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Formula: \( V = \pi r^2 h \).
\[ V = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4\ \text{cm}^3 \]