Questa pagina presenta una raccolta di problemi verbali di equazioni di secondo grado per l'8° anno, completi di dettagliate soluzioni passo dopo passo e chiare spiegazioni. Espandi le soluzioni nascoste sotto ogni domanda per rivelare il ragionamento algebrico richiesto per tradurre scenari del mondo reale in modelli matematici.
Le domande di questa pagina aiutano gli studenti a padroneggiare le applicazioni chiave delle equazioni di secondo grado, tra cui:
Due numeri interi consecutivi sono della forma:
\[ x \quad \text{e} \quad x + 1 \]Il loro prodotto è uguale a 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]Risolvi e trova i due numeri \( x \) e \( x + 1 \). L'equazione precedente può essere espansa e scritta in forma standard come segue:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Soluzioni: \( x = 7 \) o \( x = -8 \).
\( x = -8 \) non è valido poiché il problema afferma che i numeri devono essere positivi. Di conseguenza, \( x = 7 \).
I due numeri interi positivi consecutivi sono 7 e 8 (poiché \( 7 + 1 = 8 \)).
Due numeri interi consecutivi sono della forma:
\[ x \quad \text{e} \quad x + 1 \]La somma dei loro quadrati è uguale a 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Espandi e raggruppa i termini simili, quindi scrivi in forma standard:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Dividi tutti i termini per 2 per semplificare l'equazione:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Soluzioni: \( x = -9 \) o \( x = 8 \).
Poiché il problema specifica numeri interi positivi, solo \( x = 8 \) è valido.
I due numeri positivi consecutivi sono 8 e 9.
L'area di un rettangolo è uguale alla lunghezza per la larghezza, quindi:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Espandi e raggruppa i termini simili:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]Riscrivi in forma standard sottraendo 42 da entrambi i lati:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Soluzioni: \( x = -8 \) e \( x = 5 \).
Se \( x = -8 \), la larghezza (\( x+1 \)) sarebbe -7, il che è fisicamente impossibile. Solo \( x = 5 \) dà una lunghezza e una larghezza positive valide.
Calcola le dimensioni:
Il perimetro è \( 2 \times \text{lunghezza} + 2 \times \text{larghezza} \):
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]Il perimetro del giardino è 26.
Sia \( y \) la lunghezza del cateto minore. Allora il cateto maggiore è:
\[ y + 3 \]L'ipotenusa è più lunga di 3 cm rispetto al cateto maggiore, quindi:
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]Usa il teorema di Pitagora (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Espandi i quadrati e semplifica:
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]Sottrai \( y^2 + 12y + 36 \) da entrambi i lati per formare un'equazione di secondo grado in forma standard:
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Soluzioni: \( y = 9 \) o \( y = -3 \).
Solo \( y = 9 \) è valido poiché la lunghezza deve essere positiva.
La lunghezza dell'ipotenusa è \( y + 6 \):
\[ 9 + 6 = 15 \text{ cm} \]L'oggetto si trova a 80 piedi dal suolo quando \( h = 80 \), quindi sostituisci 80 nell'equazione:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]Riscrivi in forma standard sottraendo 80 da entrambi i lati:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Dividi l'intera equazione per -16 per semplificare:
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]Soluzioni: \( t = 1 \) secondo e \( t = 3 \) secondi.
Spiegazione: L'oggetto raggiunge gli 80 piedi mentre sale a \( t = 1 \) secondo, continua fino al suo punto di massimo e poi supera nuovamente gli 80 piedi mentre ridiscende a \( t = 3 \) secondi.
Sia \( L \) la lunghezza e \( W \) la larghezza. In base all'area:
\[ L \times W = 96 \]Il perimetro è 40, il che produce:
\[ 2L + 2W = 40 \]Dividi per 2 e ricava \( L \):
\[ L + W = 20 \implies L = 20 - W \]Sostituisci questa espressione per \( L \) nell'equazione dell'area:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Espandi e riorganizza nella forma standard quadratica:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Soluzioni: \( W = 8 \) o \( W = 12 \).
Ora, trova le lunghezze corrispondenti:
Per convenzione, la lunghezza è tipicamente il lato più lungo. Pertanto, le dimensioni sono larghezza = 8 m e lunghezza = 12 m.
Sia \( b \) la base. Allora l'altezza è \( b + 3 \). Usando la formula dell'area per un triangolo (\( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altezza} \)):
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Moltiplica entrambi i lati per 2 per eliminare la frazione:
\[ 108 = b(b + 3) \]Espandi e riscrivi come un'equazione di secondo grado in forma standard:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]Soluzioni: \( b = -12 \) o \( b = 9 \).
Poiché la lunghezza di una base deve essere positiva, \( b = 9 \).
L'altezza è \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \).
La base è 9 piedi e l'altezza è 12 piedi.
Siano i tre numeri interi positivi consecutivi \( x \), \( x + 1 \) e \( x + 2 \).
Il prodotto del primo e del terzo è:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Uno in meno rispetto al quadrato del secondo numero intero è:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]Nota che entrambe le espressioni algebriche si semplificano in \( x^2 + 2x \). Questo crea l'equazione:
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]Poiché questo risulta in \( 0 = 0 \), si tratta di un'identità algebrica. Ciò significa che l'equazione è vera per tutti i numeri reali \( x \).
Pertanto, qualsiasi insieme di tre numeri interi positivi consecutivi soddisfa questa condizione (ad es. 1, 2, 3 oppure 10, 11, 12).
Sia \( x \) il numero minore. Poiché la loro differenza è \( \frac{7}{2} \), il numero maggiore è \( x + \frac{7}{2} \).
Il loro prodotto è 2:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Espandi l'espressione:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]Riscrivi come un'equazione di secondo grado in forma standard sottraendo 2:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Moltiplica l'intera equazione per 2 per eliminare la frazione:
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]Scomponi l'equazione di secondo grado:
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]Soluzioni: \( x = \frac{1}{2} \) o \( x = -4 \).
Il problema richiede numeri positivi, quindi il numero minore è \( x = \frac{1}{2} \).
Il numero maggiore è \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
I due numeri sono \( \frac{1}{2} \) e 4.
Siano i tre numeri interi consecutivi \( x \), \( x + 1 \) e \( x + 2 \).
La somma dei loro quadrati è 77:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Espandi i quadrati:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]Combina i termini simili:
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]Sottrai 77 da entrambi i lati per formare un'equazione di secondo grado in forma standard:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Dividi l'intera equazione per 3 per semplificare:
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]Scomponi e risolvi:
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]Soluzioni: \( x = -6 \) o \( x = 4 \).
Poiché il problema richiede numeri interi (e non li limita solo a quelli positivi), ci sono due insiemi validi di risposte.