Come si trova l'area di un triangolo rettangolo su un piano cartesiano?

Per prima cosa, usa la formula della distanza per trovare le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo. Quindi, moltiplica tra loro le lunghezze dei due cateti e dividi per 2, usando la formula Area = 1/2 × base × altezza.

Come si usano i triangoli simili per trovare le lunghezze dei lati mancanti?

Quando due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti sono proporzionali. Puoi impostare un rapporto confrontando il lato noto di un triangolo con il corrispondente lato noto dell'altro, e uguagliarlo al rapporto del lato che stai cercando di trovare.

Problemi sui triangoli per l'8° anno: Domande di pratica e soluzioni passo dopo passo

Q: Cos'è il teorema della disuguaglianza dei triangoli?

Il teorema della disuguaglianza dei triangoli afferma che la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo deve essere rigorosamente maggiore della lunghezza del terzo lato. Se questa condizione non è soddisfatta, il triangolo non può esistere.

Disuguaglianza triangolare: Le lunghezze di due lati di un triangolo sono 20 mm e 13 mm. Quale di queste lunghezze non può rappresentare la lunghezza del terzo lato?

35 mm
10 cm
20 mm
45 mm

Suggerimento: La somma di due lati qualsiasi di un triangolo deve essere rigorosamente maggiore del terzo lato.

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In qualsiasi triangolo, la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi deve essere maggiore della lunghezza del terzo lato.

Dati due lati di lunghezza 20 mm e 13 mm, la loro somma è:

$ 20 + 13 = 33 \text{ mm} $

Pertanto, la lunghezza del terzo lato $ x $ deve soddisfare:

$ x \lt 33 \text{ mm} $

Ora verifica le opzioni date (ricordando di convertire i cm in mm):

A) $ 35 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Non possibile)
B) $ 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Non possibile)
C) $ 20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm} $ (Possibile)
D) $ 45 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Non possibile)

Risposta: Le lunghezze 35 mm, 10 cm e 45 mm non possono rappresentare il terzo lato.

Angoli isosceli: Il triangolo ABC è un triangolo isoscele. Trova l'ampiezza dell'angolo ABC. $Triangolo isoscele ABC con angolo al vertice di 72 gradi$

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La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è $ 180^\circ $:

$ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $

Poiché il triangolo ABC è isoscele (indicato dai segni di spunta sui lati AB e AC), i suoi angoli alla base sono uguali:

$ \angle ACB = \angle ABC $

Sia $ \angle ABC = x $. Allora:

$ 72^\circ + 2x = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $
$ x = 54^\circ $

Risposta: $ \angle ABC = 54^\circ $

Perimetro equilatero: Il perimetro di un triangolo equilatero è uguale a 210 cm. Qual è la lunghezza di un lato di questo triangolo?

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In un triangolo equilatero, tutti e tre i lati hanno la stessa lunghezza. Se la lunghezza di un lato è $ x $, allora il perimetro è:

$ 3x = 210 $
$ x = \dfrac{210}{3} $
$ x = 70 \text{ cm} $

Risposta: La lunghezza di un lato è 70 cm.

Algebra pitagorica: Trova $ x $ affinché il triangolo mostrato sotto sia un triangolo rettangolo. $Triangolo rettangolo con cateti 12x e 16x e ipotenusa 10$

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Usa il teorema di Pitagora ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 $
$ 144x^2 + 256x^2 = 100 $
$ 400x^2 = 100 $
$ x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} $

Prendendo la radice quadrata positiva (poiché il moltiplicatore della lunghezza di un lato deve essere positivo):

$ x = \dfrac{1}{2} $

Risposta: $ x = 0.5 $

Riflessione cartesiana: Quali saranno i vertici del triangolo ottenuto mediante una riflessione rispetto all'asse x del triangolo definito dai vertici (1, 2), (2, -3) e (4, -1)?

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Quando un punto $ (x, y) $ viene riflesso rispetto all'asse x, la sua posizione orizzontale rimane la stessa, ma la sua posizione verticale cambia di segno. La regola è $ (x, y) \to (x, -y) $.

Applicando questa regola a ciascun vertice:

$ (1, 2) \to $ $ (1, -2) $
$ (2, -3) \to $ $ (2, 3) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Triangoli simili: I due triangoli mostrati sotto sono simili. Trova la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo più grande. $Due triangoli rettangoli simili. Il triangolo piccolo ha cateti 6 e 8. Il triangolo grande ha il cateto corrispondente 15.$

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Innanzitutto, trova l'ipotenusa $ h $ del triangolo rettangolo più piccolo usando il teorema di Pitagora:

$ h^2 = 8^2 + 6^2 $
$ h^2 = 64 + 36 = 100 $
$ h = 10 $

Nei triangoli simili, i lati corrispondenti sono proporzionali. Sia $ H $ l'ipotenusa del triangolo più grande. Il rapporto dei cateti corrispondenti è uguale al rapporto delle ipotenuse:

$ \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} $

Moltiplica in croce per risolvere rispetto a $ H $:

$ 6 H = 150 $
$ H = \dfrac{150}{6} $
$ H = 25 $

Risposta: La lunghezza dell'ipotenusa del triangolo più grande è 25 unità.

Applicazione nel mondo reale: Una scala di 13 piedi è appoggiata contro un muro verticale. Il punto più basso della scala si trova a 4 piedi dal muro. Qual è l'altezza del punto in cui la scala tocca il muro? (Arrotonda la risposta al decimo di piede più vicino).

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La scala, il muro e il terreno formano un triangolo rettangolo in cui la scala è l'ipotenusa ($ c = 13 $) e la distanza dal terreno è un cateto ($ a = 4 $). Sia $ x $ l'altezza del muro.

Usa il teorema di Pitagora:

$ x^2 + 4^2 = 13^2 $
$ x^2 + 16 = 169 $
$ x^2 = 169 - 16 = 153 $
$ x = \sqrt{153} $

Calcolando la radice quadrata:

$ x \approx 12.369 $

Risposta: La scala tocca il muro a circa 12,4 piedi.

Triangoli rettangoli speciali: La lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 40 cm. L'ampiezza di uno dei suoi angoli è di 45 gradi. Quali sono le lunghezze esatte degli altri due lati del triangolo?

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In un triangolo rettangolo, se un angolo è di $ 45^\circ $, l'altro angolo acuto deve essere anch'esso $ 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Poiché gli angoli alla base sono uguali, il triangolo è isoscele, il che significa che entrambi i cateti hanno esattamente la stessa lunghezza. Sia $ x $ la lunghezza di ciascun cateto.

Usando il teorema di Pitagora:

$ x^2 + x^2 = 40^2 $
$ 2x^2 = 1600 $
$ x^2 = 800 $
$ x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} $

Risposta: La lunghezza esatta di ciascuno degli altri due lati è $ 20\sqrt{2} $ cm.

Perimetro isoscele: Il triangolo ABC è un triangolo isoscele. La lunghezza della base è 20 metri e l'altezza corrispondente è 24 metri. Trova il perimetro di ABC.

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L'altezza di un triangolo isoscele biseca la base, dividendola in due segmenti uguali di 10 metri ciascuno, e forma due triangoli rettangoli identici.

$Triangolo isoscele diviso in due triangoli rettangoli dalla sua altezza$

Usa il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza $ x $ dei lati obliqui (l'ipotenusa dei triangoli rettangoli):

$ x^2 = 24^2 + 10^2 $
$ x^2 = 576 + 100 = 676 $
$ x = \sqrt{676} = 26 \text{ metri} $

Il perimetro del triangolo è la somma della base e dei due lati obliqui identici:

$ \text{Perimetro} = 20 + 26 + 26 = 72 $

Risposta: Il perimetro è 72 metri.

Algebra dell'area: Un triangolo ha un'area di 90 centimetri quadrati. Trova la lunghezza della base se la base è maggiore di 3 cm rispetto all'altezza.

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Sia $ h $ l'altezza. La base $ b $ è data da $ b = h + 3 $.

Usando la formula dell'area $ A = \dfrac{1}{2} \times b \times h $:

$ 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h $

Moltiplica entrambi i lati per 2 per eliminare la frazione:

$ 180 = h(h + 3) $
$ h^2 + 3h - 180 = 0 $

Scomponi l'equazione di secondo grado:

$ (h + 15)(h - 12) = 0 $

Poiché l'altezza deve essere una misura positiva, $ h = 12 $.

Calcola la base:

$ b = 12 + 3 = 15 $

Risposta: La lunghezza della base è 15 cm.

Algebra del perimetro: Il perimetro di un triangolo è 74 pollici. La lunghezza del primo lato è il doppio della lunghezza del secondo lato. Il terzo lato è di 4 pollici più lungo del primo lato. Trova la lunghezza di ciascun lato.

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Sia $ x $ la lunghezza del secondo lato. Possiamo definire gli altri lati in base a $ x $:

Primo lato = $ 2x $
Secondo lato = $ x $
Terzo lato = $ 2x + 4 $

Il perimetro è la somma di tutti e tre i lati:

$ 2x + x + (2x + 4) = 74 $
$ 5x + 4 = 74 $
$ 5x = 70 $
$ x = 14 $

Ora, sostituisci $ x = 14 $ nelle espressioni dei lati:

Primo lato: $ 2(14) = 28 $ pollici
Secondo lato: $ 14 $ pollici
Terzo lato: $ 28 + 4 = 32 $ pollici

Risposta: Le lunghezze dei lati sono 28, 14 e 32 pollici.

Area cartesiana: Determina l'area del triangolo racchiuso dalle rette $ y = -4 $, $ x = 1 $ e $ y = -2x + 8 $.

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I vertici del triangolo sono i punti in cui queste tre rette si intersecano. Troviamo i punti A, B e C.

$Triangolo tracciato su un piano cartesiano con rette intersecanti$

Trova il punto A (Intersezione di $ x = 1 $ e $ y = -2x + 8 $):

Sostituisci $ x = 1 $ nell'equazione: $ y = -2(1) + 8 = 6 $
A = (1, 6)

Trova il punto C (Intersezione di $ y = -4 $ e $ y = -2x + 8 $):

Sostituisci $ y = -4 $ nell'equazione: $ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 $
C = (6, -4)

Trova il punto D (Intersezione di $ x = 1 $ e $ y = -4 $):

D = (1, -4)

Poiché le rette $ x = 1 $ (verticale) e $ y = -4 $ (orizzontale) sono perpendicolari, questo è un triangolo rettangolo. La base e l'altezza sono le distanze verticali e orizzontali lineari:

Altezza (AB) = distanza verticale da $ y = 6 $ a $ y = -4 $ = $ |6 - (-4)| = 10 $
Base (BC) = distanza orizzontale da $ x = 1 $ a $ x = 6 $ = $ |6 - 1| = 5 $

Calcola l'area:

$ \text{Area} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 $

Risposta: L'area del triangolo è di 25 unità quadrate.

Formula della distanza: Dimostra che il triangolo con vertici A(-1,6), B(2,6) e C(2,2) è un triangolo rettangolo e trova la sua area.

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Calcola la lunghezza al quadrato di ciascun lato usando la formula della distanza $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $
$ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 $
$ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $

Verifica se si applica il teorema di Pitagora ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 $
Poiché $ AB^2 + BC^2 = CA^2 $ (25 = 25), il triangolo è un triangolo rettangolo con l'ipotenusa costituita dal lato CA.

Essendo un triangolo rettangolo, AB e BC sono la base e l'altezza. Le lunghezze dei lati sono $ AB = \sqrt{9} = 3 $ e $ BC = \sqrt{16} = 4 $.

Calcola l'area:

$ \text{Area} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $

Risposta: Il triangolo è un triangolo rettangolo con un'area di 6 unità quadrate.

Problemi e domande sui triangoli per l'8° anno

Domande di pratica

Link e riferimenti