Addizione e sottrazione di polinomi - Classe 9

Questa pagina è progettata per aiutare gli studenti di 9° anno a padroneggiare l'addizione e la sottrazione di polinomi. Forniamo regole chiare, esempi guidati e problemi di pratica con soluzioni passo dopo passo. Espandi le soluzioni nascoste per vedere esattamente come raggruppare i termini e gestire i fastidiosi segni meno.

Le competenze chiave trattate in questa pagina includono:

Le basi: definizioni e regole

Cos'è un polinomio?

Un polinomio è un'espressione algebrica costituita da variabili e coefficienti, formata dall'addizione o sottrazione di diversi monomi. Esempi includono:

Regola 1: Distribuire i segni per eliminare le parentesi

Per sommare o sottrarre polinomi, devi prima rimuovere le parentesi usando la proprietà distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \).

Regola 2: Addizione e sottrazione di termini simili

Puoi combinare solo i termini che hanno esattamente le stesse variabili elevate alle stesse potenze. L'ordine non importa (ad es. \( x^2y^2 \) è identico a \( y^2x^2 \)).

Esempi:

Domande di pratica

Parte A: Combina i termini simili

  1. Semplifica l'espressione: \( 2x - 2x + 9x \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( 2x - 2x + 9x \)
    • \( = (2 - 2 + 9)x \) (Metti in evidenza la variabile e raggruppa i coefficienti)
    • \( = 9x \) (Semplifica i numeri)
  2. Semplifica l'espressione: \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    • \( = (-1 + 3 + 1)x^2 \) (Ricorda che \( -x^2 \) significa \( -1x^2 \) e \( x^2 \) significa \( 1x^2 \))
    • \( = 3x^2 \)
  3. Semplifica l'espressione: \( -xy + \dfrac{2}{3}xy + \dfrac{1}{2}xy \)
    Suggerimento: Trova un denominatore comune per sommare le frazioni.
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( \left(-1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)xy \) (Metti in evidenza \( xy \))
    • \( = \left(-\dfrac{6}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6}\right)xy \) (Trova un denominatore comune pari a 6)
    • \( = \left(\dfrac{-6 + 4 + 3}{6}\right)xy \)
    • \( = \dfrac{1}{6}xy \)
  4. Semplifica l'espressione: \( 0.2x^3 + 2x^3 - 0.5x^3 \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( (0.2 + 2 - 0.5)x^3 \) (Metti in evidenza la variabile)
    • \( = (2.2 - 0.5)x^3 \)
    • \( = 1.7x^3 \) (O come frazione: \( \dfrac{17}{10}x^3 \))
  5. Semplifica l'espressione: \( x - 0.3x - \dfrac{1}{5}x \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( \left(1 - 0.3 - \dfrac{1}{5}\right)x \) (Metti in evidenza la variabile)
    • \( = \left(\dfrac{10}{10} - \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10}\right)x \) (Converti tutto in frazioni con denominatore 10)
    • \( = \left(\dfrac{10 - 3 - 2}{10}\right)x \)
    • \( = \dfrac{5}{10}x = \dfrac{1}{2}x \) (O come decimale: \( 0.5x \))

Parte B: Addizione e sottrazione di polinomi

  1. Somma i polinomi: \( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( +1(2x^2 - 2x + 1) + 1(x + 5) \) (Identifica i segni che precedono le parentesi)
    • \( = 2x^2 - 2x + 1 + x + 5 \) (Distribuisci i segni positivi per rimuovere le parentesi)
    • \( = 2x^2 + (-2x + x) + (1 + 5) \) (Raggruppa i termini simili)
    • \( = 2x^2 - x + 6 \) (Combina i coefficienti)
  2. Sottrai i polinomi: \( (-4x^3 - 2x + 1) - (-x^3 - 5x) \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( +1(-4x^3 - 2x + 1) - 1(-x^3 - 5x) \) (Identifica i segni che precedono le parentesi)
    • \( = -4x^3 - 2x + 1 + x^3 + 5x \) (Distribuisci il -1, invertendo i segni nella seconda parentesi)
    • \( = (-4x^3 + x^3) + (-2x + 5x) + 1 \) (Raggruppa i termini simili)
    • \( = -3x^3 + 3x + 1 \) (Semplifica)
  3. Esegui le operazioni sui polinomi: \( -(2x^3 - 2x^2 + 1) + (-x^3 - 5x^2) \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( -1(2x^3 - 2x^2 + 1) + 1(-x^3 - 5x^2) \)
    • \( = -2x^3 + 2x^2 - 1 - x^3 - 5x^2 \) (Distribuisci i segni per rimuovere le parentesi)
    • \( = (-2x^3 - x^3) + (2x^2 - 5x^2) - 1 \) (Raggruppa i termini simili)
    • \( = -3x^3 - 3x^2 - 1 \) (Semplifica)
  4. Semplifica: \( -(-x^4y - 2x^2 - 9) - (-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    Suggerimento: \( x^4y \) è esattamente lo stesso termine di \( yx^4 \).
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( -1(-x^4y - 2x^2 - 9) - 1(-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    • \( = x^4y + 2x^2 + 9 + yx^4 + 5x^2 - 1 \) (Distribuisci il -1 a entrambe le parentesi, invertendo tutti i segni)
    • \( = (x^4y + yx^4) + (2x^2 + 5x^2) + (9 - 1) \) (Raggruppa i termini simili)
    • \( = 2x^4y + 7x^2 + 8 \) (Semplifica i coefficienti)
  5. Semplifica l'espressione: \( (-x^2 - 2x) - (-x^2 - 5x + 3) + (x^2 - 4) \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( +1(-x^2 - 2x) - 1(-x^2 - 5x + 3) + 1(x^2 - 4) \)
    • \( = -x^2 - 2x + x^2 + 5x - 3 + x^2 - 4 \) (Distribuisci i segni per rimuovere le parentesi)
    • \( = (-x^2 + x^2 + x^2) + (-2x + 5x) + (-3 - 4) \) (Raggruppa i termini simili)
    • \( = x^2 + 3x - 7 \) (Combina i coefficienti)
  6. Sottrai i polinomi: \( (x^3 - 2x^2 + 3) - \left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    Visualizza la soluzione passo dopo passo
    • \( +1(x^3 - 2x^2 + 3) - 1\left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    • \( = x^3 - 2x^2 + 3 - \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3} \) (Distribuisci i segni per rimuovere le parentesi)
    • \( = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-2 - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(3 + \dfrac{1}{3}\right) \) (Metti in evidenza le variabili per facilitare la somma delle frazioni)
    • \( = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(\dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3}\right) \) (Trova i denominatori comuni)
    • \( = \dfrac{3}{4}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{10}{3} \)

Link e riferimenti