Questa pagina è progettata per aiutare studenti, genitori e insegnanti a padroneggiare le proprietà degli esponenti attraverso domande accuratamente selezionate e soluzioni dettagliate passo dopo passo disponibili immediatamente sotto ogni blocco di domande.
La forma esponenziale è un modo comodo per scrivere moltiplicazioni lunghe e ripetute dello stesso numero per se stesso:
\[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ volte} } = a^n \]
Qui, \( a \) è chiamato base (un numero reale) e \( n \) è chiamato esponente (un numero intero). L'espressione \( a^n \) si legge "\(a\) elevato alla potenza di \(n\)". Comprendere queste regole è un passo fondamentale per l'algebra avanzata e il calcolo.
Rivedi queste proprietà fondamentali prima di tentare le domande sottostanti:
| # | Nome regola | Definizione | Esempi |
|---|---|---|---|
| 1 | Forma esponenziale | \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ volte} } = a^n \) | \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \) \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) |
| 2 | Esponente negativo | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) oppure \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) | \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} \) \( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \) |
| 3 | Regola del prodotto (stessa base) | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \) \( 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6 \) |
| 4 | Regola del prodotto (stesso esponente) | \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) | \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \) \( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \) |
| 5 | Regola del quoziente (stessa base) | \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) | \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \) \( 3^{5-2} = \dfrac{3^5}{3^2} \) |
| 6 | Regola del quoziente (stesso esponente) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \) \( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 \) |
| 7 | Regola del quoziente (esponente negativo) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \) |
| 8 | Regola della potenza | \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) | \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12} \) \( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \) |
| 9 | Regola dell'esponente zero | \( a^0 = 1 \) (per \(a \neq 0\)) | \( 10000000^0 = 1 \) Nota: \( \color{red}{0^0 \text{ non è definito}} \) |
| 10 | Regola dell'esponente uno | \( a^1 = a \) | \( 45^1 = 45 \) \( 100 = 100^1 \) |
| 11 | Regola della base uno | \( 1^n = 1 \) | \( 1^{230} = 1 \) \( 1^{-100} = 1 \) |
| 12 | Regola della base meno uno | \( (-1)^n = \begin{cases} 1, & \text{se } n \text{ è pari} \\ -1, & \text{se } n \text{ è dispari} \end{cases} \) | \( (-1)^{19} = -1 \) \( (-1)^{18} = 1 \) |
Istruzioni: prova a risolvere tutte le seguenti domande senza usare la calcolatrice prima di espandere il blocco delle soluzioni.