Problemi di pratica di geometria
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Problema 1: Angoli complementari
Gli angoli \( A \) e \( B \) sono complementari e la misura dell'angolo \( A \) è il doppio della misura dell'angolo \( B \). Trova le misure degli angoli \( A \) e \( B \).
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Sia \( A \) la misura dell'angolo \( A \) e \( B \) la misura dell'angolo \( B \). Ci viene detto che:
\[ A = 2B \]
Poiché gli angoli \( A \) e \( B \) sono complementari, la loro somma è \( 90^\circ \):
\[ A + B = 90^\circ \]
Sostituisci \( 2B \) al posto di \( A \) nell'equazione:
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \dfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
Ora, sostituisci \( B \) per trovare \( A \):
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
Risposta: Misura di \( A = 60^\circ \), Misura di \( B = 30^\circ \).
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Problema 2: Area di un parallelogramma
\( ABCD \) è un parallelogramma tale che \( AB \) è parallelo a \( DC \) e \( DA \) è parallelo a \( CB \). La lunghezza del lato \( AB \) è \( 20 \text{ cm} \). Il punto \( E \) si trova tra \( A \) e \( B \) in modo che la lunghezza di \( AE \) sia \( 3 \text{ cm} \). Il punto \( F \) si trova tra i punti \( D \) e \( C \).
Trova la lunghezza di \( DF \) affinché il segmento \( EF \) divida il parallelogramma in due regioni di area uguale.
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Sia \( A_1 \) l'area del trapezio \( AEFD \). La sua area è data da:
\[ A_1 = \dfrac{1}{2} h (AE + DF) = \dfrac{1}{2} h (3 + DF) \]
dove \( h \) è l'altezza del parallelogramma.
Sia \( A_2 \) l'area del trapezio \( EBCF \). La sua area è data da:
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (EB + FC) \]
Possiamo trovare le lunghezze delle basi rimanenti poiché la lunghezza totale dei lati del parallelogramma è \( 20 \):
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
Sostituendo \( EB \) e \( FC \) nell'equazione per \( A_2 \):
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
Affinché il segmento \( EF \) divida il parallelogramma in due regioni di area uguale, poniamo \( A_1 = A_2 \):
\[ \dfrac{1}{2} h (3 + DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
Moltiplica entrambi i lati per 2 e dividi per \( h \):
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
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Problema 3: Angoli interni di un triangolo
Trova la misura dell'angolo \( A \) nella figura sottostante.
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Per trovare l'angolo \( A \), dobbiamo prima trovare gli altri due angoli interni del triangolo utilizzando gli angoli esterni supplementari.
Il primo angolo interno (in basso a sinistra) è supplementare all'angolo di \( 129^\circ \). Una linea retta misura \( 180^\circ \), quindi:
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
Il secondo angolo interno (in basso a destra) è supplementare all'angolo di \( 138^\circ \):
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
La somma di tutti e tre gli angoli interni di un triangolo è sempre \( 180^\circ \). Pertanto:
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
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Problema 4: Angoli in un triangolo rettangolo
\( ABC \) è un triangolo rettangolo. \( AM \) è perpendicolare a \( BC \). L'ampiezza dell'angolo \( ABC \) è pari a \( 55^\circ \). Trova l'ampiezza dell'angolo \( MAC \).
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La somma di tutti gli angoli nel grande triangolo \( \triangle ABC \) è \( 180^\circ \). Poiché è un triangolo rettangolo in \( A \), sappiamo che gli angoli sono \( 90^\circ \), \( 55^\circ \) (dato per \( \angle ABC \)) e \( \angle ACB \):
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
Sostituisci \( \angle ABC = 55^\circ \) e risolvi rispetto a \( \angle ACB \):
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
Ora osserva il triangolo più piccolo \( \triangle AMC \). La linea \( AM \) è perpendicolare a \( BC \), il che significa che \( \angle AMC = 90^\circ \). La somma degli angoli in \( \triangle AMC \) è \( 180^\circ \):
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
Nota che \( \angle ACM \) è esattamente lo stesso angolo di \( \angle ACB \). Sostituisci \( 35^\circ \) nell'equazione:
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
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Problema 5: Angoli opposti al vertice
Trova l'ampiezza dell'angolo \( MBD \) nella figura sottostante.
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Innanzitutto, trova l'angolo mancante nel triangolo di sinistra, \( \triangle AMC \). La somma dei suoi angoli è \( 180^\circ \):
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
Gli angoli \( \angle AMC \) e \( \angle DMB \) sono angoli opposti al vertice, il che significa che hanno la stessa misura:
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
Ora, usa la somma degli angoli per il triangolo di destra, \( \triangle DMB \), che è anch'essa \( 180^\circ \):
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
Sostituisci \( \angle DMB = 46^\circ \):
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
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Problema 6: Linee intersecanti e angoli
L'ampiezza dell'angolo \( AOB \) è pari a \( 132^\circ \) e l'ampiezza dell'angolo \( COD \) è pari a \( 141^\circ \). Trova l'ampiezza dell'angolo \( DOB \).
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L'angolo \( \angle AOB = 132^\circ \) ed è composto dalla somma degli angoli \( \angle AOD \) e \( \angle DOB \):
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(Equazione 1)} \]
L'angolo \( \angle COD = 141^\circ \) ed è composto dalla somma degli angoli \( \angle COB \) e \( \angle DOB \):
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(Equazione 2)} \]
Somma l'Equazione 1 e l'Equazione 2:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
Poiché \( A, O \) e \( C \) formano una linea retta, gli angoli \( \angle AOD, \angle DOB \) e \( \angle COB \) formano un angolo piatto, il che significa:
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
Sostituisci \( 180^\circ \) nella nostra equazione combinata:
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
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Problema 7: Angoli di un quadrilatero
Trova l'ampiezza dell'angolo \( x \) nella figura.
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Per trovare \( x \), dobbiamo prima determinare tutti gli angoli interni del quadrilatero.
Due degli angoli interni sono dati come \( 41^\circ \) e \( 94^\circ \).
L'angolo interno supplementare all'angolo esterno \( x \) è: \( 180^\circ - x \).
L'angolo interno supplementare all'angolo esterno \( 111^\circ \) è: \( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).
La somma di tutti gli angoli interni di un quadrilatero è \( 360^\circ \). Pertanto:
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
Combina i valori costanti:
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
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Problema 8: Perimetro e area su griglia
Il rettangolo sottostante è costituito da 12 quadrati congruenti (della stessa dimensione). Trova il perimetro del rettangolo se l'area del rettangolo è pari a \( 432 \text{ cm}^2 \).
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Se l'area totale del rettangolo è \( 432 \text{ cm}^2 \), l'area di un singolo piccolo quadrato è:
\[ \dfrac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
Sia \( x \) la lunghezza del lato di un piccolo quadrato. L'area di un quadrato è \( x^2 \):
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
La griglia mostra che il rettangolo è lungo 4 quadrati e largo 3 quadrati. Le dimensioni del grande rettangolo sono:
\[ \text{Lunghezza } (L) = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{Larghezza } (W) = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
Il perimetro \( P \) del rettangolo è:
\[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
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Problema 9: Triangoli isosceli all'interno di un triangolo rettangolo
\( ABC \) è un triangolo rettangolo con l'ampiezza dell'angolo \( ACB \) pari a \( 74^\circ \). Le lunghezze dei segmenti di lato \( AM \), \( MQ \) e \( QP \) sono tutte uguali. Trova la misura dell'angolo \( QPB \).
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Supponiamo che l'angolo retto sia in \( B \) (il che rende \( \angle ABC = 90^\circ \)). L'angolo \( \angle CAB \) nel triangolo rettangolo \( \triangle ACB \) è:
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
Poiché i segmenti \( AM \) e \( MQ \) hanno la stessa lunghezza, il triangolo \( \triangle AMQ \) è un triangolo isoscele. Pertanto, i suoi angoli alla base sono uguali:
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
La somma di tutti gli angoli interni in \( \triangle AMQ \) è \( 180^\circ \):
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
L'angolo \( \angle QMP \) è supplementare all'angolo \( \angle AMQ \) (formano una linea retta sulla base):
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
Poiché le lunghezze \( QM \) e \( QP \) sono uguali, anche il triangolo \( \triangle QMP \) è un triangolo isoscele. Pertanto:
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
L'angolo \( \angle QPB \) è supplementare all'angolo \( \angle QPM \) (formando una linea retta):
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
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Problema 10: Sottrazione di aree
Trova l'area della forma composita data.
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L'area della forma data può essere trovata facilmente calcolando l'area del rettangolo delimitante completo e sottraendo il triangolo rettangolo "mancante" nell'angolo in alto a destra.
Il rettangolo delimitante completo ha dimensioni \( 20 \text{ cm} \) per \( 15 \text{ cm} \).
I lati del triangolo rettangolo "mancante" (in rosso nel diagramma) sono:
\[ \text{Base} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{Altezza} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
Calcola l'area:
\[ \text{Area} = \text{Area del rettangolo} - \text{Area del triangolo} \]
\[ \text{Area} = (20 \times 15) - \left( \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{Area} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
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Problema 11: Area tratteggiata
Trova l'area della regione tratteggiata.
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L'area della forma tratteggiata può essere trovata sottraendo l'area del rettangolo non tratteggiato in alto a sinistra dall'area totale del grande rettangolo esterno.
Innanzitutto, trova le dimensioni del rettangolo non tratteggiato in alto a sinistra:
\[ \text{Lunghezza} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{Larghezza} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
Ora, esegui la sottrazione delle aree:
\[ \text{Area} = \text{Area del grande rettangolo} - \text{Area del rettangolo non tratteggiato} \]
\[ \text{Area} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{Area} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
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Problema 12: Rapporto tra quadrati iscritti
I vertici del quadrato iscritto (interno) dividono a metà i lati del secondo quadrato (esterno). Trova il rapporto tra l'area del quadrato esterno e l'area del quadrato iscritto.
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Sia \( 2x \) la lunghezza del lato del grande quadrato esterno. Ciò significa che il punto medio del lato lo divide in segmenti di lunghezza \( x \).
L'area del grande quadrato esterno è:
\[ \text{Area}_{\text{esterno}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
Sia \( y \) la lunghezza del lato del quadrato iscritto. La sua area è \( y^2 \).
Poiché i vertici dividono a metà il quadrato esterno, creano quattro triangoli rettangoli negli angoli con base \( x \) e altezza \( x \). Possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare \( y^2 \):
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
Il rapporto \( R \) tra l'area del quadrato esterno e l'area del quadrato interno è:
\[ R = \dfrac{\text{Area}_{\text{esterno}}}{\text{Area}_{\text{interno}}} = \dfrac{4x^2}{2x^2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} \]
Risposta: Il rapporto è 2:1.