Domande di pratica
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Semplifica le espressioni:
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)Visualizza la soluzione video
Questo problema comporta la semplificazione di espressioni con radici quadrate e radicali.
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Espandi e semplifica i polinomi sottostanti:
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)Visualizza la soluzione video
Questo problema richiede l'applicazione della proprietà distributiva e la combinazione dei termini simili.
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Semplifica le espressioni sottostanti:
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)Visualizza la soluzione video
Applica le regole degli esponenti (regola del prodotto, regola del quoziente e regola della potenza) per semplificare.
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Semplifica le espressioni razionali:
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)Visualizza la soluzione video
Scomponi in fattori i numeratori e i denominatori per trovare i termini comuni che possono essere eliminati.
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Valuta e semplifica le espressioni per i valori dati della o delle variabili:
a) \( \sqrt{x + 6} \), per \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \), per \( x = -4 \) e \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \), per \( x = -2 \)Visualizza la soluzione video
Sostituisci i valori dati nelle espressioni algebriche e semplifica usando l'ordine delle operazioni.
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Scomponi in fattori le espressioni algebriche:
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)Visualizza la soluzione video
Trova il massimo comun divisore (MCD) o usa metodi come il raccoglimento a gruppi o la differenza di quadrati.
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Risolvi le seguenti equazioni:
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)Visualizza la soluzione video
Isola la variabile eseguendo operazioni inverse su entrambi i lati dell'equazione.
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Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado:
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)Visualizza la soluzione video
Per le equazioni di secondo grado standard, uguaglierle a zero e scomporre in fattori, oppure usare la formula quadratica.
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Risolvi le seguenti equazioni:
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)Visualizza la soluzione video
Isola l'espressione radicale, quindi eleva al quadrato entrambi i lati per eliminare la radice quadrata.
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Risolvi le seguenti disequazioni e rappresenta l'insieme delle soluzioni usando intervalli, grafici su una retta numerica e simboli di diseguaglianza:
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)Visualizza la soluzione video
Ricordati di invertire il verso della disequazione se moltiplichi o dividi per un numero negativo.
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Per quale valore del parametro \( a \) il punto con coordinate \( (a, 3) \) si trova sulla retta la cui equazione è data da \( 2x - 3y = 4 \)?
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Sostituisci le coordinate nell'equazione e risolvi rispetto al parametro sconosciuto.
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Qual è il punto di intersezione delle rette date dalle equazioni \( 2x + y = 5 \) e \( 3x - 2y = 4\)?
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Usa il metodo di sostituzione o di eliminazione per risolvere il sistema di equazioni lineari.
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Qual è la pendenza di ciascuna delle rette date dalle equazioni?
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)Visualizza la soluzione video
Riscrivi ciascuna equazione nella forma esplicita della retta (\(y = mx + b\)) per identificare la pendenza (\(m\)).
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Trova le intercette con gli assi x e y, se possibile, delle rette con equazioni:
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)Visualizza la soluzione video
Poni \( x = 0 \) per trovare l'intercetta y, e poni \( y = 0 \) per trovare l'intercetta x.
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a) Trova il valore del parametro \( s \) affinché la pendenza della retta passante per i punti \( (-2 , s) \) e \( (-4, 5) \) sia pari a \( -1 \).
b) Trova l'equazione della retta.Visualizza la soluzione video
Usa la formula della pendenza: \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
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Trova l'equazione della retta passante per il punto \( (-2, 4) \) e perpendicolare alla retta la cui equazione è data da \( -2y + 4x = -2 \).
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Ricorda che le rette perpendicolari hanno pendenze che sono l'una l'inversa opposta dell'altra.
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Trova l'equazione della retta mostrata di seguito sapendo che la lunghezza del segmento AB è 3.1 e la lunghezza di BC è 6.2 e il punto \( D \) si trova sulla retta.
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Usa le lunghezze date per calcolare il dislivello rispetto allo spostamento orizzontale (pendenza), quindi deduci l'equazione.
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Quale delle seguenti rette le cui equazioni sono date di seguito ha una pendenza negativa?
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)Visualizza la soluzione video
Converti ciascuna nel formato \( y = mx + b \) per controllare il segno di \( m \).
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Nella figura sottostante, un edificio ha la sommità del primo piano nel punto C e la sommità del secondo piano nel punto D. Gli angoli di elezione dal punto A, a una distanza di 40 metri sul terreno, ai punti C e D sono rispettivamente \( 14^\circ \) e \( 21^\circ \) e il punto B si trova alla base dell'edificio. Trova l'altezza \( DC \) dal primo al secondo piano.
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Usa i rapporti trigonometrici della tangente nei due triangoli rettangoli per trovare le altezze verticali, quindi sottrai.
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La popolazione di una piccola città è aumentata di 600 abitanti in un anno. Ciò rappresenta un aumento del 5% rispetto all'anno precedente. Qual era la popolazione della città l'anno prima dell'aumento?
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Imposta un'equazione percentuale: \( 0.05 \times \text{Originale} = 600 \).
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Trova l'area della forma tratteggiata sapendo che AE è parallelo a CD che è il diametro del semicerchio. BC è parallelo a ED che è perpendicolare ad AE. Tutte le lunghezze sono in mm.
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Scomponi la figura complessa in figure geometriche più semplici (rettangoli, triangoli, semicerchi) per calcolare l'area totale.
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Trova l'area di un esagono regolare il cui perimetro è 18 cm.
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Un esagono regolare è composto da 6 triangoli equilateri. Usa il perimetro per trovare la lunghezza del lato.
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Trova l'area tratteggiata racchiusa da un quarto di cerchio e da un quadrato di diagonale 10 mm.
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Usa la diagonale per trovare la lunghezza del lato del quadrato e interpreta la geometria per calcolare le sottrazioni di aree.
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Il volume del prisma retto è pari a \( 1500 \text{ cm}^3 \).
a) Trova la lunghezza \( L \) del prisma.
b) Trova l'area della superficie totale (laterale e delle basi) del prisma.
c) Qual è il costo per realizzare il prisma con un materiale che costa 200 $ al metro quadro?Visualizza la soluzione video
Calcola prima l'area di base, dividi il volume per l'area di base per trovare la lunghezza \( L \), quindi calcola l'area della superficie totale e il costo.
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Tra 100 studenti, 70 studiano matematica (tra cui alcuni studiano anche fisica) e 50 studiano fisica (tra cui alcuni studiano anche matematica). Supponendo che ogni studente studi almeno una delle due materie:
a) Quanti studenti sono iscritti sia a matematica che a fisica?
b) Quanti sono iscritti solo a matematica?
c) Quanti sono iscritti solo a fisica?Visualizza la soluzione passo dopo passo
Sia \( M \) l'insieme degli studenti che studiano Matematica e \( P \) l'insieme degli studenti che studiano Fisica.
- Numero totale di studenti: \( n(M \cup P) = 100 \)
- Studenti che studiano Matematica: \( n(M) = 70 \)
- Studenti che studiano Fisica: \( n(P) = 50 \)
a) Studenti in entrambe (\( M \cap P \)):
Usa la formula della teoria degli insiemi:
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) Studenti solo in matematica:
Sottrai gli studenti che studiano entrambe dal totale degli studenti di Matematica:
\( 70 - 20 = 50 \)c) Studenti solo in fisica:
Sottrai gli studenti che studiano entrambe dal totale degli studenti di Fisica:
\( 50 - 20 = 30 \) -
Nella figura sottostante, BC è parallelo a DE. Trova l'area del triangolo ADE se l'area del triangolo ABC è pari a \( 30 \text{ cm}^2 \).
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Poiché la linea \( BC \) è parallela alla linea \( DE \), il triangolo \( ABC \) e il triangolo \( ADE \) sono triangoli simili.
Quando due triangoli sono simili, il rapporto delle loro aree è uguale al quadrato del rapporto delle lunghezze dei loro lati corrispondenti. Sia \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \) il rapporto dei lati corrispondenti.
La formula dell'area che mette in relazione i due triangoli è:
\( \text{Area}(ADE) = \text{Area}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Area}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
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Un litro d'acqua pesa 1 chilogrammo e 1 decimetro cubo (\( \text{dm}^3 \)) è uguale a 1 litro. Qual è il peso dell'acqua contenuta in un contenitore a prisma retto rettangolare con dimensioni di 10 cm, 20 cm e 200 cm?
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Passo 1: Trova il volume in centimetri cubi (\( \text{cm}^3 \)).
Volume \( = \text{lunghezza} \times \text{larghezza} \times \text{altezza} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40.000 \text{ cm}^3 \)Passo 2: Converti i centimetri cubi in decimetri cubi (litri).
Sappiamo che \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \), quindi \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1.000 \text{ cm}^3 \).
\( \text{Volume in litri} = \dfrac{40.000 \text{ cm}^3}{1.000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ litri} \)Passo 3: Calcola il peso.
Poiché 1 litro pesa 1 kg, il peso dell'acqua è:
\( 40 \text{ litri} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
Linda ha viaggiato a una velocità media di 65 miglia all'ora andando in una città e a una velocità media di 50 miglia all'ora tornando indietro usando la stessa strada. Ha guidato per un totale di 6 ore tra andata e ritorno. Qual è la distanza da casa di Linda alla città che ha visitato? (Arrotonda la tua risposta al miglio più vicino).
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Sia \( D \) la distanza di sola andata per la città.
Usando la formula \( \text{Tempo} = \dfrac{\text{Distanza}}{\text{Velocità}} \):
Tempo all'andata = \( \dfrac{D}{65} \)
Tempo al ritorno = \( \dfrac{D}{50} \)Il tempo di guida totale è di 6 ore, quindi impostiamo l'equazione:
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)Trova un denominatore comune per 65 e 50. (Il minimo comune multiplo è 650).
Moltiplica il numeratore e il denominatore della prima frazione per 10 e la seconda per 13:
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
Moltiplica entrambi i lati per 650:
\( 23D = 3900 \)Dividi per 23:
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ miglia} \)Arrotondato al miglio più vicino, la distanza è 170 miglia.
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Quale numero reale ha il suo quadrato uguale alla somma della sua metà e della sua terza parte?
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Sia \( x \) il numero reale sconosciuto.
Traduci il problema in un'equazione algebrica:
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)Trova un denominatore comune per sommare le frazioni sul lato destro:
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)Porta tutti i termini da un lato per uguagliare a zero l'equazione quadratica:
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)Raccogli \( x \):
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)Ciò fornisce due possibili soluzioni:
\( x = 0 \) oppure \( x = \dfrac{5}{6} \)
Sia 0 che 5/6 sono numeri reali che soddisfano la condizione. -
Il rapporto tra i ragazzi e le ragazze in una scuola è pari a 6:5. Qual è il rapporto tra i ragazzi e il numero totale di studenti?
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Il rapporto tra i ragazzi e le ragazze è 6:5. Ciò significa che per ogni 6 ragazzi ci sono 5 ragazze.
Il numero totale di "parti" nel rapporto è la somma delle parti dei ragazzi e delle parti delle ragazze:
Parti totali = \( 6 + 5 = 11 \)Il rapporto tra i ragazzi e il numero totale di studenti è semplicemente le parti dei ragazzi divise per le parti totali:
Rapporto = 6:11 -
Ci sono 200 palline in un contenitore. Le palline hanno uno di tre colori: rosso, blu e verde. Il rapporto tra le palline blu e quelle rosse è 3:10 e il rapporto tra quelle verdi e quelle blu è 7:3. Quante palline di ciascun colore ci sono?
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Vediamo i rapporti dati:
- Blu : Rosso = 3 : 10
- Verde : Blu = 7 : 3
Poiché la parte "Blu" è rappresentata dal numero 3 in entrambi i rapporti, possiamo facilmente combinarli in un unico rapporto continuo per Verde : Blu : Rosso:
Verde : Blu : Rosso = 7 : 3 : 10
Somma il numero totale di parti in questo rapporto combinato:
Parti totali = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)Dividi il numero totale di palline (200) per il numero totale di parti per trovare il valore di una parte:
Valore di 1 parte = \( 200 / 20 = 10 \text{ palline} \)Moltiplica i numeri del rapporto per il valore di una parte per trovare la quantità di ciascun colore:
- Verde: \( 7 \times 10 = 70 \text{ palline} \)
- Blu: \( 3 \times 10 = 30 \text{ palline} \)
- Rosso: \( 10 \times 10 = 100 \text{ palline} \)