Problemi testuali di matematica per la classe 9: Domande e soluzioni passo dopo passo

Un concerto ha venduto 120 biglietti. I biglietti per studenti costano 8$ e i biglietti per adulti costano 12$. Il ricavo totale è stato di 1.160$. Quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti?

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Sia $ x $ il numero di biglietti per studenti e $ y $ il numero di biglietti per adulti. Usa le informazioni fornite per scrivere le equazioni:

\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]

Dall'equazione (1), isola $ y $:

\[ y = 120 - x \]

Sostituisci questa espressione nell'equazione (2):

\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]

Ora, trova $ y $:

\[ y = 120 - 70 = 50 \]

Risposta: Sono stati venduti 70 biglietti per studenti e 50 biglietti per adulti.

In un triangolo, un angolo è tre volte più grande dell'angolo più piccolo. Il terzo angolo è di $ 20^\circ $ superiore al più piccolo. Trova tutti gli angoli.

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Sia $ x $ l'angolo più piccolo. Allora il secondo angolo è $ 3x $ e il terzo angolo è $ x + 20 $.

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $ 180^\circ $:

\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]

Raggruppa i termini simili e risolvi rispetto a $ x $:

\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]

Ora trova ciascun angolo:

Angolo più piccolo: $ x = 32^\circ $
Secondo angolo: $ 3x = 96^\circ $
Terzo angolo: $ x + 20 = 52^\circ $

Data la funzione $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $, trova $ f(2) $ e $ f(-1) $.

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Per trovare $ f(2) $, sostituisci $ x $ con $ 2 $ nella funzione:

\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Per trovare $ f(-1) $, sostituisci $ x $ con $ -1 $ nella funzione:

\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \]

Un serbatoio d'acqua cilindrico ha un raggio di 3 metri e un'altezza di 5 metri. Quanta acqua può contenere (in metri cubi)? Usa $ \pi \approx 3.14 $.

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La formula per il volume di un cilindro è $ V = \pi r^2 h $.

\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]

Qual è la probabilità di ottenere una somma di 9 lanciando due dadi a sei facce?

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Ci sono $ 6 \times 6 = 36 $ risultati totali possibili quando si lanciano due dadi.

Le combinazioni che danno una somma di 9 sono:

$ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) $

Poiché ci sono 4 risultati favorevoli su 36 risultati possibili, la probabilità è:

\[ \text{Probabilità} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \]

Risolvi rispetto a $ x $: $ 2^{x+1} = 32 $

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Innanzitutto, scrivi 32 come base 2:

\[ 32 = 2^5 \]

Riscrivi l'equazione:

\[ 2^{x+1} = 2^5 \]

Poiché le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti:

\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Una scala lunga 13 metri è appoggiata a un muro. La base si trova a 5 metri dal muro. A che altezza del muro arriva la scala?

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La scala, la base e il muro formano un triangolo rettangolo in cui la scala è l'ipotenusa. Sia $ h $ l'altezza. Applica il teorema di Pitagora ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]

Risposta: La scala arriva a 12 metri di altezza sul muro.

Un distributore automatico ha solo monete da 0,25$ e 1$. Ci sono 50 monete in totale, per un valore di 35$. Quante monete ci sono di ciascun tipo?

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Sia $ x $ il numero di monete da 0,25$ e $ y $ il numero di monete da 1$. Imposta il sistema di equazioni:

\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]

Dall'equazione (1), otteniamo $ y = 50 - x $. Sostituisci questo nell'equazione (2):

\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]

Ora trova $ y $:

\[ y = 50 - 20 = 30 \]

Risposta: Ci sono 20 monete da 0,25$ e 30 monete da 1$.

La somma di tre numeri dispari consecutivi è 123. Quali sono i numeri?

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La differenza tra due numeri dispari consecutivi è 2. Sia $ x $ il primo numero. Il secondo è $ x + 2 $ e il terzo è $ x + 4 $. La loro somma è 123:

\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]

I numeri sono $ x = 39 $, $ x + 2 = 41 $ e $ x + 4 = 43 $.

Risposta: I numeri sono 39, 41 e 43.

Un giardino rettangolare ha una lunghezza maggiore di 4 metri rispetto alla sua larghezza. La sua area è di 96 m². Trova le dimensioni del giardino.

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Sia $ x $ metri la larghezza. Allora la lunghezza è $ x + 4 $ metri. L'area è lunghezza × larghezza:

\[ x(x + 4) = 96 \]

Scrivi l'equazione di secondo grado in forma normale:

\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]

Ciò fornisce le soluzioni $ x = 8 $ o $ x = -12 $. Poiché la larghezza non può essere negativa, scartiamo $-12$.

Risposta: La larghezza è 8 m e la lunghezza è $ 8 + 4 = 12 $ m.

Quale o quali numeri sono uguali al proprio quadrato?

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Sia $ x $ il numero. Se è uguale al suo quadrato, scriviamo l'equazione:

\[ x = x^2 \]

Scrivila in forma normale e raccogli a fattor comune:

\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]

Risposta: Le soluzioni sono $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Quale o quali numeri sono uguali alla metà del proprio quadrato?

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Sia $ x $ il numero. È uguale alla metà del suo quadrato:

\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]

Imposta a zero e raccogli a fattor comune:

\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]

Risposta: Le soluzioni sono $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Un'auto viaggia da A a B a una velocità di 40 mph e poi ritorna, percorrendo la stessa strada, da B a A a una velocità di 60 mph. Qual è la velocità media per il viaggio di andata e ritorno?

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La velocità media è la distanza totale divisa per il tempo totale. Sia $ x $ la distanza di sola andata da A a B. La distanza totale di andata e ritorno è $ 2x $.

Il tempo di andata è $ \dfrac{x}{40} $ e il tempo di ritorno è $ \dfrac{x}{60} $. Il tempo totale $ T $ è:

\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]

Ora calcola la velocità media:

\[ \text{Velocità media} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mph} \]

Tom viaggia a 60 miglia all'ora andando in una città vicina e a 50 miglia all'ora tornando indietro per la stessa strada. Ha guidato per un totale di 5 ore tra andata e ritorno. Qual è la distanza da casa di Tom alla città visitata? (Arrotonda la risposta al miglio più vicino).

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Sia $ x $ la distanza dalla città. Il tempo impiegato per l'andata è $ \dfrac{x}{60} $ e il tempo per il ritorno è $ \dfrac{x}{50} $. Il tempo totale è 5 ore:

\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]

Moltiplica l'intera equazione per il denominatore comune (300):

\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{miglia} \end{aligned} \]

Alle 11:00, John ha iniziato a guidare lungo un'autostrada a una velocità costante di 50 mph. Un quarto d'ora dopo, Jimmy ha iniziato a guidare lungo la stessa autostrada nella stessa direzione di John a una velocità costante di 65 mph. A che ora Jimmy raggiungerà John?

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Sia $ t $ il tempo (in ore) in cui John ha guidato dalle 11:00. Jimmy parte un quarto d'ora (0,25 ore) dopo, quindi il suo tempo di guida è $ t - 0.25 $.

Quando Jimmy raggiunge John, le loro distanze sono uguali:

\[ 50t = 65(t - 0.25) \]

Risolvi rispetto a $ t $:

\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{ore} \end{aligned} \]

$ \dfrac{65}{60} $ ore equivalgono esattamente a 1 ora e 5 minuti. Aggiungendo questo all'ora di partenza (11:00):

Risposta: Jimmy raggiunge John alle 12:05.

Trova l'equazione della retta passante per il punto $ (-4, 5) $ e perpendicolare alla retta $ 5x - 3y = 4 $.

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Innanzitutto, trova il coefficiente angolare della retta data convertendola in forma esplicita ($ y = mx + b $):

\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Il coefficiente angolare di questa retta è $ \dfrac{5}{3} $. Le rette perpendicolari hanno coefficienti angolari reciproci e opposti, quindi il coefficiente angolare della nostra nuova retta è $ m = -\dfrac{3}{5} $.

Utilizzando la formula del punto-pendenza con il punto $ (-4, 5) $:

\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]

Moltiplica per 5 per convertirla in forma implicita (standard):

\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \]

Un campo rettangolare ha un'area di 300 metri quadrati e un perimetro di 80 metri. Quali sono la lunghezza e la larghezza del campo?

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Siano $ L $ e $ W $ rispettivamente la lunghezza e la larghezza. Equazioni di area e perimetro:

\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]

Dall'equazione del perimetro, $ W = 40 - L $. Sostituisci questo nell'equazione dell'area:

\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]

Le soluzioni sono $ L = 30 $ o $ L = 10 $. Supponendo che la lunghezza sia il lato più lungo, $ L = 30 $ m e $ W = 10 $ m.

Un giardino rettangolare ha una lunghezza di 100 metri e una larghezza di 50 metri. Una piscina quadrata deve essere costruita all'interno del giardino. Trova la lunghezza di un lato della piscina se l'area rimanente (non occupata dalla piscina) è pari alla metà dell'area del giardino rettangolare.

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Sia $ x $ il lato della piscina. L'area della piscina è $ x^2 $.

Se l'area rimanente è la metà dell'area totale, allora la piscina stessa deve occupare l'altra metà dell'area totale. L'area totale del giardino è $ 100 \times 50 = 5000 $.

\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]

Risposta: Il lato della piscina è di 50 metri.

ABC è un triangolo equilatero con lato di lunghezza pari a 50 cm. BH è perpendicolare ad AC. MN è parallelo ad AC. Trova l'area del triangolo BMN se la lunghezza di MN è pari a 12 cm.

$Triangolo BMN inscritto nel triangolo equilatero ABC$

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Poiché $ \triangle ABC $ è equilatero e $ BH \perp AC $, $ H $ è il punto medio di $ AC $, quindi $ HC = \dfrac{50}{2} = 25 $ cm.

Poiché $ MN \parallel HC $, i triangoli $ \triangle BMN $ e $ \triangle BHC $ sono simili. Il rapporto dei lati corrispondenti è:

\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]

Il rapporto delle aree di triangoli simili è il quadrato del rapporto dei loro lati:

\[ \dfrac{\text{Area } BMN}{\text{Area } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]

Successivamente, trova l'altezza $ BH $ usando il teorema di Pitagora in $ \triangle BHC $:

\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]

L'area di $ \triangle BHC $ è:

\[ \text{Area } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]

Infine, trova l'area di $ \triangle BMN $:

\[ \text{Area } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \]

L'altezza dell'acqua in un contenitore cilindico con raggio $ r = 5 $ cm è 10 cm. Peter ha bisogno di misurare il volume di una pietra dalla forma complicata, quindi mette la pietra all'interno del contenitore. L'altezza dell'acqua sale a 13,2 cm. Qual è il volume della pietra in centimetri cubi?

$Cilindro con spostamento d'acqua$

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Trova il volume iniziale dell'acqua ($ V_1 $):

\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]

Trova il nuovo volume dopo che la pietra è stata sommersa ($ V_2 $):

\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]

Il volume della pietra è la differenza:

\[ V_{\text{pietra}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]

Utilizzando $ \pi \approx 3.14159 $, il volume è approssimativamente $ 251.3 \; \text{cm}^3 $.

Nella figura sottostante, il quadrato ha tutti i suoi vertici sulla circonferenza. L'area del quadrato è pari a 400 cm². Qual è l'area della forma circolare?

$Quadrato inscritto in un cerchio$

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Il lato $ x $ del quadrato può essere trovato usando la sua area:

\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]

La diagonale $ D $ del quadrato è uguale al diametro del cerchio. Usa il teorema di Pitagora per trovare $ D $:

\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]

L'area del cerchio è $ A = \pi r^2 $. Poiché $ r = \dfrac{D}{2} $, abbiamo $ r^2 = \dfrac{D^2}{4} $:

\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]

Utilizzando $ \pi \approx 3.14 $, l'area è approssimativamente $ 628 \; \text{cm}^2 $.

I numeri 2, 3, 5 e $ x $ hanno una media pari a 4. Trova $ x $.

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La media è la somma dei numeri divisa per la quantità. Imposta l'equazione:

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]

Risolvi rispetto a $ x $:

\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

I numeri $ x, y, z $ e $ w $ hanno una media pari a 25. La media di $ x, y $ e $ z $ è pari a 27. Trova $ w $.

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La media dei 4 numeri ci dà la loro somma totale:

\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]

La media dei 3 numeri ci dà la loro somma parziale:

\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]

Sostituisci questa somma parziale nella prima equazione:

\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \]

Trova $ x, y, z $ in modo che i numeri 41, 46, $ x, y, z $ abbiano una media aritmetica di 50 e una moda di 45.

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La media aritmetica dei cinque numeri è 50:

\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]

La moda è il valore che si presenta più frequentemente. Poiché nessun numero si ripete ancora, almeno due delle variabili sconosciute devono essere uguali a 45. Non possiamo avere $ x = y = z = 45 $ perché $ 45 \times 3 = 135 $, che non è uguale a 163.

Pertanto, due delle variabili devono essere 45 (diciamo $ x = y = 45 $):

\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]

Risposta: I valori sono 45, 45 e 73.

$ A $ è una costante. Trova $ A $ tale che l'equazione $ 2x + 1 = 2A + 3(x + A) $ abbia una soluzione per $ x = 2 $.

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Sostituisci $ x = 2 $ nell'equazione data:

\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Un litro è pari a 1 decimetro cubo ($ \text{dm}^3 $), e 1 litro d'acqua pesa 1 chilogrammo. Qual è il peso dell'acqua contenuta in un contenitore cilindico con raggio pari a 50 centimetri e altezza pari a 1 metro?

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Innanzitutto, converti tutte le unità in decimetri (dm) per calcolare facilmente i litri, poiché 10 cm = 1 dm:

Raggio $ r = 50 $ cm = 5 dm
Altezza $ h = 1 $ m = 100 cm = 10 dm

Trova il volume del cilindro:

\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]

Poiché 1 $ \text{dm}^3 $ pesa 1 kg, il peso totale è 785 kg.

Nella figura sottostante, il triangolo ABC è un triangolo rettangolo isoscele. AM è perpendicolare a BC e MN è perpendicolare ad AC. Trova il rapporto tra l'area del triangolo MNC e l'area del triangolo ABC.

$Triangolo rettangolo isoscele ABC con altezze AM e MN$

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Poiché $ \triangle ABC $ è un triangolo rettangolo isoscele, l'altezza $ AM $ tracciata sull'ipotenusa divide il triangolo in due triangoli rettangoli isosceli più piccoli e congruenti: $ \triangle ABM $ e $ \triangle ACM $.

Pertanto, l'area di $ \triangle ACM $ è esattamente la metà dell'area di $ \triangle ABC $.

Analogamente, nel triangolo rettangolo isoscele $ \triangle ACM $, l'altezza $ MN $ lo divide in due triangoli rettangoli isosceli congruenti: $ \triangle AMN $ e $ \triangle CMN $.

Quindi, l'area di $ \triangle MNC $ è esattamente la metà dell'area di $ \triangle ACM $.

Combinando questi risultati, l'area di $ \triangle MNC $ è $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $ dell'area di $ \triangle ABC $.

Risposta: Il rapporto è 1:4.

La pompa A può riempire un serbatoio d'acqua in 4 ore. La pompa B può riempire lo stesso serbatoio in 6 ore. Entrambe le pompe vengono avviate alle 8:00 per riempire lo stesso serbatoio vuoto. Un'ora dopo, la pompa B si guasta e ci impiega un'ora per essere riparata prima di essere riavviata. Quando sarà pieno il serbatoio? (Arrotonda la risposta al minuto più vicino).

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La portata di riempimento della pompa A è $ \dfrac{1}{4} $ di serbatoio all'ora. La portata della pompa B è $ \dfrac{1}{6} $ di serbatoio all'ora.

Sia $ t $ il tempo totale (in ore) in cui la pompa A è in funzione. Poiché la pompa B è stata guasta per esattamente 1 ora, essa funziona per $ t - 1 $ ore.

Insieme, riempiono 1 intero serbatoio:

\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]

Moltiplica l'equazione per 12 per eliminare i denominatori:

\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{ore} \end{aligned} \]

Converti 2,8 ore in ore e minuti:

\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{minuti} \]

Il tempo totale è 2 ore e 48 minuti. Partendo dalle 8:00, il serbatoio sarà pieno alle 10:48.

Le rette con equazioni $ 2x + y = 2 $ e $ x - 2y = 0 $ sono parallele, perpendicolari o nessuna delle due?

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Converti ciascuna equazione nella forma esplicita ($ y = mx + b $):

\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{coefficiente angolare } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{coefficiente angolare } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]

I coefficienti angolari sono reciproci e opposti l'uno dell'altro, poiché il loro prodotto è $-1$:

\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]

Risposta: Le rette sono perpendicolari.

Un semicerchio di area $ 50\pi $ cm² è inscritto all'interno di un rettangolo. Il diametro del semicerchio coincide con la lunghezza del rettangolo. Trova l'area del rettangolo.

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Sia $ R $ il raggio del semicerchio. L'area del semicerchio è la metà dell'area di un cerchio intero:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]

Poiché il diametro del semicerchio coincide con la lunghezza del rettangolo, la lunghezza $ L = 2R = 20 $ cm.

Poiché il semicerchio è inscritto, il suo raggio tocca la larghezza superiore del rettangolo, quindi la larghezza $ W = R = 10 $ cm.

Calcola l'area del rettangolo:

\[ \text{Area} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \]

Un triangolo ha un'area di 200 cm². Due lati di questo triangolo misurano rispettivamente 26 cm e 40 cm. Trova il valore esatto del terzo lato.

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Siano $ a = 26 $, $ b = 40 $ e $ \alpha $ l'angolo compreso tra di essi. La formula per l'area di un triangolo è:

\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]

Sostituisci i valori noti per trovare $ \sin(\alpha) $:

\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]

Utilizzando l'identità $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, trova $ \cos(\alpha) $. Poiché un angolo in un triangolo può essere acuto o ottuso, ci sono due possibili valori per $ \cos(\alpha) $:

\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]

Ora, applica il teorema dei coseni (o di Carnot) per trovare il terzo lato $ c $:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]

Calcola le due possibilità per $ c^2 $:

\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]

Risposta: I due possibili valori esatti per il terzo lato sono $ 2\sqrt{89} $ cm e $ 2\sqrt{1049} $ cm.

Problemi testuali di matematica per la classe 9: Domande e soluzioni passo dopo passo

Domande di pratica

Link e riferimenti