Problemi di matematica sui rapporti: Domande e soluzioni passo dopo passo

Domande di pratica

1. In una scuola ci sono 600 alunni. Il rapporto tra ragazzi e ragazze in questa scuola è 3:5. Quante ragazze e quanti ragazzi ci sono in questa scuola?

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   Per ottenere un rapporto tra ragazzi e ragazze pari a 3:5, sia \( 3x \) il numero dei ragazzi e \( 5x \) il numero delle ragazze, dove \( x \) è un fattore comune.

   Il numero totale degli alunni è 600. Pertanto, possiamo impostare l'equazione:

   \[ \begin{aligned} 3x + 5x &= 600 \\ 8x &= 600 \\ x &= 75 \end{aligned} \]

   Ora, sostituisci \( x \) nelle nostre espressioni:

   • Numero di ragazzi: \( 3x = 3 \times 75 = 225 \)
   • Numero di ragazze: \( 5x = 5 \times 75 = 375 \)

2. In un sacchetto ci sono \( r \) palline rosse, \( b \) palline blu e \( w \) palline bianche. Scrivi il rapporto tra il numero di palline blu e il numero totale di palline in termini di \( r \), \( b \) e \( w \).

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   Innanzitutto, trova il numero totale di palline nel sacchetto:

   \[ \text{Totale} = r + b + w \]

   Il rapporto tra le palline blu (\( b \)) e il numero totale di palline è:

   \[ \dfrac{b}{r + b + w} \]

3. Il perimetro di un rettangolo è pari a 280 metri. Il rapporto tra la sua lunghezza e la sua larghezza è 5:2. Trova l'area del rettangolo.

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   Poiché il rapporto tra lunghezza e larghezza è 5:2, sia la lunghezza \( L = 5x \) e la larghezza \( W = 2x \).

   La formula del perimetro è \( 2(L + W) \). Sostituisci i valori noti:

   \[ \begin{aligned} 2(5x + 2x) &= 280 \\ 2(7x) &= 280 \\ 14x &= 280 \\ x &= \dfrac{280}{14} = 20 \end{aligned} \]

   Ora, calcola l'area (\( A = L \times W \)):

   \[ \begin{aligned} A &= (5x) \times (2x) \\ A &= 10x^2 \\ A &= 10(20)^2 = 10(400) = 4000 \end{aligned} \]

   Risposta: L'area è di 4000 metri quadrati.

4. Gli angoli di un triangolo sono nel rapporto 1:3:8. Trova le misure dei tre angoli di questo triangolo.

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   Poiché il rapporto dei tre angoli è 1:3:8, possiamo scrivere le loro misure come \( x \), \( 3x \) e \( 8x \).

   La somma dei tre angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre \( 180^\circ \). Quindi:

   \[ \begin{aligned} x + 3x + 8x &= 180 \\ 12x &= 180 \\ x &= 15 \end{aligned} \]

   Calcola la misura di ciascun angolo:

   • \( x = 15^\circ \)
   • \( 3x = 3 \times 15 = 45^\circ \)
   • \( 8x = 8 \times 15 = 120^\circ \)

5. Le misure dei due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono nel rapporto 2:7. Quali sono le misure dei due angoli?

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   In un triangolo rettangolo, i due angoli acuti sono complementari, il che significa che la loro somma è \( 90^\circ \).

   Dato il rapporto 2:7, siano le misure dei due angoli \( 2x \) e \( 7x \).

   \[ \begin{aligned} 2x + 7x &= 90 \\ 9x &= 90 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

   Le misure dei due angoli acuti sono:

   • \( 2x = 2 \times 10 = 20^\circ \)
   • \( 7x = 7 \times 10 = 70^\circ \)

6. Un barattolo è pieno di monete da un centesimo e da cinque centesimi nel rapporto di 5 a 3. Ci sono 30 monete da cinque centesimi nel barattolo, quante monete ci sono in totale?

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   Un rapporto tra monete da un centesimo e da cinque centesimi di 5:3 significa che possiamo scrivere il numero di monete da un centesimo come \( 5x \) e il numero di monete da cinque centesimi come \( 3x \).

   Ci viene dato che il numero di monete da cinque centesimi è 30:

   \[ 3x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

   Il numero totale di monete nel barattolo è la somma delle monete da un centesimo e da cinque centesimi:

   \[ \text{Monete totali} = 5x + 3x = 8x = 8(10) = 80 \]

   Risposta: Ci sono 80 monete in totale.

7. Un campo rettangolare ha un'area di 300 metri quadrati e un perimetro di 80 metri. Qual è il rapporto tra la lunghezza e la larghezza di questo campo?

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   Sia \( L \) la lunghezza e \( W \) la larghezza, con \( L > W \). Imposta le equazioni di area e perimetro:

   \[ L \times W = 300 \quad \text{(I)} \] \[ 2L + 2W = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \quad \text{(II)} \]

   Dall'equazione (II), isola \( W \):

   \[ W = 40 - L \]

   Sostituisci questo nell'equazione (I):

   \[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 10)(L - 30) &= 0 \end{aligned} \]

   Le soluzioni sono \( L = 10 \) o \( L = 30 \). Poiché la lunghezza è tipicamente il lato più lungo (\( L > W \)), scegliamo \( L = 30 \) e \( W = 10 \).

   Il rapporto tra lunghezza e larghezza è:

   \[ \dfrac{L}{W} = \dfrac{30}{10} = \dfrac{3}{1} \]

   Risposta: Il rapporto è 3:1.

8. Esprimi il rapporto \( 3 \dfrac{2}{3} : 7 \dfrac{1}{3} \) nella sua forma più semplice.

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   Innanzitutto, converti i numeri misti in frazioni improprie:

   \[ 3 \dfrac{2}{3} = \dfrac{(3 \times 3) + 2}{3} = \dfrac{11}{3} \] \[ 7 \dfrac{1}{3} = \dfrac{(7 \times 3) + 1}{3} = \dfrac{22}{3} \]

   Ora, scrivi il rapporto come divisione e risolvi:

   \[ \dfrac{11}{3} \div \dfrac{22}{3} = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{11}{22} = \dfrac{1}{2} \]

   Risposta: Il rapporto nella forma più semplice è 1:2.

9. La lunghezza del lato del quadrato A è il doppio della lunghezza del lato del quadrato B. Qual è il rapporto tra l'area del quadrato A e l'area del quadrato B?

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   Sia \( y \) la lunghezza del lato del quadrato B. Poiché il lato del quadrato A è lungo il doppio, la lunghezza del suo lato è \( 2y \).

   Calcola l'area di entrambi i quadrati:

   \[ \text{Area di A} = (2y)^2 = 4y^2 \] \[ \text{Area di B} = y^2 \]

   Il rapporto tra l'area del quadrato A e l'area del quadrato B è:

   \[ \dfrac{\text{Area di A}}{\text{Area di B}} = \dfrac{4y^2}{y^2} = \dfrac{4}{1} \]

   Risposta: Il rapporto è 4:1.

10. La lunghezza del lato del quadrato A è la metà della lunghezza del lato del quadrato B. Qual è il rapporto tra il perimetro del quadrato A e il perimetro del quadrato B?

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    Sia \( x \) la lunghezza del lato del quadrato A. Poiché questa è la metà della lunghezza del quadrato B, la lunghezza del lato del quadrato B è \( 2x \).

    Calcola il perimetro di entrambi i quadrati (Perimetro = 4 × lato):

    \[ \text{Perimetro di A} = 4x \] \[ \text{Perimetro di B} = 4(2x) = 8x \]

    Il rapporto tra il perimetro del quadrato A e il perimetro del quadrato B è:

    \[ \dfrac{\text{Perimetro di A}}{\text{Perimetro di B}} = \dfrac{4x}{8x} = \dfrac{1}{2} \]

    Risposta: Il rapporto è 1:2.

11. All'inizio della settimana una libreria aveva libri di scienza e d'arte nel rapporto 2:5. Entro la fine della settimana, è stato venduto il 20% di ciascun tipo di libro e 2240 libri di entrambi i tipi non sono stati venduti. Quanti libri di ciascun tipo c'erano all'inizio della settimana?

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    Siano \( S \) e \( A \) rispettivamente il numero iniziale di libri di scienza e d'arte.

    Poiché il rapporto è 2:5, possiamo scrivere \( S = 2x \) e \( A = 5x \). Ciò significa che l'inventario iniziale totale era \( 7x \).

    Se è stato venduto il 20% dei libri, ciò significa che l'80% dei libri non è stato venduto. Il numero totale di libri non venduti è 2240:

    \[ \begin{aligned} 0.80(7x) &= 2240 \\ 5.6x &= 2240 \\ x &= \dfrac{2240}{5.6} = 400 \end{aligned} \]

    Ora, calcola le quantità iniziali:

    • Libri di scienza: \( S = 2(400) = 800 \)
    • Libri d'arte: \( A = 5(400) = 2000 \)

12. All'inizio del mese un negozio aveva televisori da 20 pollici e da 40 pollici nel rapporto 4:5. Entro la fine del mese, sono stati venduti 200 televisori da 20 pollici e 500 da 40 pollici e il rapporto tra televisori da 20 pollici e da 40 pollici è diventato 1:1. Quanti televisori di ciascun tipo c'erano all'inizio del mese?

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    Sia \( 4x \) il numero iniziale di televisori da 20 pollici e \( 5x \) quello da 40 pollici, rispecchiando il rapporto 4:5.

    Dopo aver venduto le rispettive quantità, le nuove quantità sono \( 4x - 200 \) e \( 5x - 500 \). Poiché il nuovo rapporto è 1:1, le quantità sono uguali:

    \[ \begin{aligned} 4x - 200 &= 5x - 500 \\ 500 - 200 &= 5x - 4x \\ 300 &= x \end{aligned} \]

    Sostituisci \( x = 300 \) nelle espressioni iniziali:

    • Televisori da 20 pollici: \( 4(300) = 1200 \)
    • Televisori da 40 pollici: \( 5(300) = 1500 \)

13. Il rapporto d'aspetto (aspect ratio) di uno schermo televisivo è il rapporto tra la misura della lunghezza orizzontale e la misura dell'altezza verticale. Trova la lunghezza orizzontale e l'altezza verticale di uno schermo TV con un rapporto d'aspetto di 4:3 e una diagonale di 50 pollici.

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    Sia \( H = 4x \) la lunghezza orizzontale e \( V = 3x \) l'altezza verticale.

    Lo schermo forma un triangolo rettangolo con la diagonale come ipotenusa. Applichiamo il teorema di Pitagora (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):

    \[ \begin{aligned} H^2 + V^2 &= 50^2 \\ (4x)^2 + (3x)^2 &= 2500 \\ 16x^2 + 9x^2 &= 2500 \\ 25x^2 &= 2500 \\ x^2 &= 100 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

    Calcola le dimensioni effettive:

    • Lunghezza orizzontale: \( H = 4(10) = 40 \) pollici
    • Altezza verticale: \( V = 3(10) = 30 \) pollici

Ulteriori riferimenti e link

• Matematica scuola media (Classi 6, 7, 8, 9) - Domande e problemi gratuiti
• Matematica delle superiori (Classi 10, 11 e 12) - Domande e problemi gratuiti
• Scuola primaria (Classi 4 e 5) - Domande e problemi gratuiti