Problemi e Soluzioni passo-passo
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Domanda 1: Le aree, in chilometri quadrati, di alcuni paesi sono riportate di seguito.
USA: 9.629.091, Russia: 17.098.242, Cina: 9.598.094, Canada: 9.984.670, Regno Unito: 242.400 e India: 3.287.263.
Rispondi alle seguenti domande:
a) Quale di questi paesi ha l'area più piccola?
b) Quale di questi paesi ha l'area più grande?
c) Qual è la differenza tra le aree di Russia e Cina?
d) Trova l'area totale di tutti i paesi elencati sopra?
e) Ordina questi paesi dall'area più grande a quella più piccola?► Soluzione alla Domanda 1
a) L'area più piccola è 242.400 chilometri quadrati ed è quella del Regno Unito.
b) L'area più grande è 17.098.242 chilometri quadrati e corrisponde alla Russia.
c) La differenza tra le aree di Russia e Cina è data da
\[ 17.098.242 - 9.598.094 = 7.500.148 \; \text{chilometri quadrati} \]d) L'area totale dei paesi elencati sopra è data da
\( 9.629.091 + 17.098.242 + 9.598.094 + 9.984.670 \)
\[ + 242.400 + 3.287.263 = 49.839.760 \; \text{chilometri quadrati} \]e) Ordiniamo prima le aree dalla più grande alla più piccola.
\[ 17.098.242 \; | \; 9.984.670 \; | \; 9.629.091 \; | \; 9.598.094 \; | \; 3.287.263 \; | \; 242.400 \]
Che corrispondono ai seguenti paesi: Russia, Canada, USA, Cina, India, Regno Unito -
Domanda 2: Jim ha guidato per 768 miglia di un viaggio di 1200 miglia. Quante altre miglia deve guidare per finire il suo viaggio?
► Soluzione alla Domanda 2
Il numero di miglia da guidare per finire il viaggio è dato da
\[ 1200 - 768 = 432 \; \text{miglia} \] -
Domanda 3: Sofia e Max hanno preparato una bevanda speciale alla frutta. Sofia ha usato \(\dfrac{2}{6}\) di una bottiglia di succo d'arancia. Max ha usato \(\dfrac{1}{3}\) di una bottiglia di succo d'arancia.
a) Chi ha usato più succo d'arancia?
b) Quanto succo d'arancia in più ha usato quella persona?► Soluzione alla Domanda 3
Confrontiamo Sofia: \(\dfrac{2}{6}\) di bottiglia e Max: \(\dfrac{1}{3}\) di bottiglia.
Rendiamo i denominatori uguali per confrontare.
La frazione di Max è \(\dfrac{1}{3}\), ma possiamo scrivere \(\dfrac{1}{3}\) come una frazione equivalente con denominatore 6 moltiplicando numeratore e denominatore per 2:
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \]a) Ora entrambe le frazioni sono \(\dfrac{2}{6}\), quindi hanno usato la stessa quantità di succo d'arancia.
b) Poiché hanno usato la stessa quantità:
\[ \dfrac{2}{6} - \dfrac{2}{6} = 0 \]
Nessuno ne ha usato di più. La differenza è 0. -
Domanda 4: Ci sono 123 scatole di dolci in un negozio. Ci sono 25 dolci in ogni scatola. Quanti dolci ci sono nel negozio?
► Soluzione alla Domanda 4
Per trovare quanti dolci ci sono, moltiplichiamo 123 per 25
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{dolci} \] -
Domanda 5: Ci sono 365 giorni in un anno e 100 anni in un secolo. Quanti giorni ci sono in un secolo?
► Soluzione alla Domanda 5
In 100 anni, ovvero un secolo, ci sono:
\[ 365 \times 100 = 36.500 \; \text{giorni} \] -
Domanda 6: Billy ha letto 2 libri. Ha letto il primo in una settimana con 25 pagine al giorno. Ha letto il secondo libro in 12 giorni con 23 pagine al giorno. Qual è il numero totale di pagine che Billy ha letto?
► Soluzione alla Domanda 6
Pagine lette nel primo libro in una settimana (che è 7 giorni) con 25 pagine al giorno:
\[ 25 \times 7 = 175 \; \text{pagine} \]
Pagine lette nel secondo libro in 12 giorni con 23 pagine al giorno:
\[ 23 \times 12 = 276 \; \text{pagine} \]
Numero totale di pagine lette:
\[ 175 + 276 = 451 \; \text{pagine} \] -
Domanda 7: 123 studentesse devono essere trasportate in piccoli furgoni. Ogni furgone può trasportare solo 8 ragazze. Qual è il minor numero possibile di furgoni necessari per trasportare tutte le 123 studentesse?
► Soluzione alla Domanda 7
Per trovare il numero di furgoni, dividiamo 123 per 8.
\[ 123 \div 8 = 15 \; \text{con resto} = 3 \]
Quindi 15 furgoni sono necessari per trasportare \(15 \times 8 = 120\) ragazze, e 1 furgone è necessario per trasportare le 3 ragazze rimanenti. Sono necessari in totale 16 furgoni. -
Domanda 8: John aveva $100 per comprare bevande e panini per la sua festa di compleanno. Ha comprato 5 piccole scatole di bevande a $4 ciascuna e 8 scatole di panini a $6 ciascuna. Quanti soldi gli sono rimasti dopo aver fatto la spesa?
► Soluzione alla Domanda 8
Soldi spesi per le bevande:
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Soldi spesi per i panini:
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Soldi totali spesi:
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Soldi rimasti dopo la spesa:
\[ 100 - 68 = \$32 \] -
Domanda 9: Tom, Julia, Mike e Fran hanno 175 carte da usare in un gioco. Hanno deciso di dividerle equamente. Quante carte dovrebbe prendere ognuno e quante carte avanzano?
► Soluzione alla Domanda 9
Per sapere quante carte dovrebbe prendere ognuno, dividi 175 per 4 (Tom, Julia, Mike e Fran).
\[ 175 \div 4 = 43 \; \text{con resto} = 3 \]
Ognuno dovrebbe prendere 43 carte e ne avanzano 3. -
Domanda 10: Esamina questo pattern: 2, 6, 12, 20, 30, ...
Qual è il 7° numero nel pattern?► Soluzione alla Domanda 10
Trova le differenze tra i numeri successivi:
\[ 6 - 2 = 4 \implies 6 = 2 + 4 \]
\[ 12 - 6 = 6 \implies 12 = 6 + 6 \]
\[ 20 - 12 = 8 \implies 20 = 12 + 8 \]
\[ 30 - 20 = 10 \implies 30 = 20 + 10 \]
Il pattern è: Aggiungi 4, poi 6, poi 8, poi 10, ...
Differenze successive: 12 e 14
\[ 30 + 12 = 42 \]
\[ 42 + 14 = 56 \]
Il 7° numero è 56. -
Domanda 11: Liam ha ordinato una grande pizza tagliata in 8 fette uguali. Ne ha mangiate 3 a pranzo. Più tardi, sua sorella Ava ne ha mangiate 2.
a) Che frazione della pizza ha mangiato Liam?
b) Che frazione ha mangiato Ava?
c) Che frazione della pizza è rimasta?
d) Se volessero dividere equamente la pizza rimanente tra loro, quante fette riceverà ognuno?► Soluzione alla Domanda 11
a) L'intera pizza ha 8 fette uguali. Liam ne ha mangiate **3 fette** su 8. Quindi, la frazione che ha mangiato è:
\[ \dfrac{3}{8} \]b) Ava ha mangiato 2 fette su 8. Quindi, la frazione che ha mangiato è:
\[ \dfrac{2}{8} \]c) Totale mangiato = \(\dfrac{3}{8}\) di Liam + \(\dfrac{2}{8}\) di Ava
\[ \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8} \]
Quindi, la frazione rimasta è:
\[ 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8} \]d) Sono rimaste 3 fette. Se Liam e Ava le dividono equamente, riceveranno ciascuno:
\[ \dfrac{3}{2} = 1 \dfrac{1}{2} \text{ fette} \] -
Domanda 12: Il rettangolo a sinistra e il quadrato a destra hanno lo stesso perimetro. Qual è la lunghezza di un lato del quadrato?
► Soluzione alla Domanda 12
Il perimetro P del rettangolo è uguale a:
\[ P_1 = 15 + 25 + 15 + 25 = 80 \]
Il perimetro del quadrato è uguale al perimetro del rettangolo e quindi è pari a 80. Il quadrato ha 4 lati di uguale lunghezza e il suo perimetro \(P_2\) è dato da:
\[ P_2 = 4 \times \text{lunghezza di un lato} \]
\[ 80 = 4 \times 20 \]
Quindi la lunghezza di un lato è uguale a 20 unità. -
Domanda 13: Ci sono 123 scatole di dolci in un negozio. Ogni scatola contiene 25 dolci.
Il proprietario del negozio vuole fare delle confezioni regalo speciali usando alcuni dei dolci dalle scatole. Decide di usare 1 dolce ogni 5 per le confezioni regalo. Il resto dei dolci rimane nelle scatole.
a) Quanti dolci vengono usati per fare le confezioni regalo?
b) Quanti dolci rimangono nelle scatole?
c) Circa quante scatole di dolci sono necessarie per fare le confezioni regalo?► Soluzione alla Domanda 13
a) Il numero totale di dolci è:
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{dolci} \]
Il numero di dolci usati per le confezioni regalo (1 ogni 5) è:
\[ \dfrac{1}{5} \times 3075 = 3075 \div 5 = 615 \; \text{dolci} \]b) Numero di dolci rimanenti nelle scatole:
\[ 3075 - 615 = 2460 \; \text{dolci} \]c) Numero di scatole usate per le confezioni regalo:
Ogni scatola ha 25 dolci, quindi:
\[ 615 \div 25 = 24,6 \; \text{scatole} \]
Poiché non possiamo usare parte di una scatola senza aprirla, arrotondiamo 24,6 a 25 e diciamo:
Circa 25 scatole di dolci sono usate per fare le confezioni regalo. -
Domanda 14: Ci sono 365 giorni in un anno e 100 anni in un secolo. Ignorando gli anni bisestili, quante settimane ci sono in un secolo?
► Soluzione alla Domanda 14
Il numero totale di giorni in un secolo (ignorando gli anni bisestili) è:
\[ 100 \times 365 = 36.500 \text{ giorni} \]
Ci sono 7 giorni in una settimana, quindi il numero di settimane in un secolo è:
\[ 36.500 \div 7 = 5.214 \text{ settimane e } 2 \text{ giorni} \]
Ci sono 5.214 settimane intere e 2 giorni extra in un secolo (se ignoriamo gli anni bisestili). -
Domanda 15: Billy ha letto 2 libri. Ha letto il primo in una settimana con 25 pagine al giorno. Ha letto il secondo libro in 12 giorni con 23 pagine al giorno. Qual è il numero totale di pagine che Billy ha letto?
► Soluzione alla Domanda 15
Una settimana è 7 giorni. Billy ha letto il primo libro in una settimana con 25 pagine al giorno. Pagine totali del primo libro:
\[ 25 \times 7 = 175 \text{ pagine} \]
Billy ha letto il secondo libro in 12 giorni con 23 pagine al giorno. Pagine totali del secondo libro:
\[ 23 \times 12 = 276 \text{ pagine} \]
Numero totale di pagine lette:
\[ 175 + 276 = 451 \text{ pagine} \] -
Domanda 16: Emma sta usando dello zucchero da un sacchetto. Al mattino, ne ha usato \(\dfrac{1}{8}\) del sacchetto. Nel pomeriggio, ha usato metà di quello che era rimasto.
a) Che frazione del sacchetto di zucchero ha usato Emma nel pomeriggio?
b) Quanto zucchero ha usato in totale?
c) Che frazione del sacchetto è rimasta?► Soluzione alla Domanda 16
a) Emma ha usato \( \dfrac{1}{8} \) al mattino, quindi la quantità rimasta dopo il mattino è:
\[ 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} \]
Emma ha usato metà di ciò che era rimasto, e ciò che era rimasto era \(\dfrac{7}{8}\):
\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{1 \times 7}{2 \times 8} = \dfrac{7}{16} \]
Quindi nel pomeriggio, ha usato \(\dfrac{7}{16}\) del sacchetto.b) Emma ha usato \(\dfrac{1}{8}\) al mattino e \(\dfrac{7}{16}\) nel pomeriggio:
Totale \(T\) usato:
\[ T = \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16} \]
Convertiamo \(\dfrac{1}{8}\) in una frazione con denominatore 16:
\[ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 2}{8 \times 2} = \dfrac{2}{16} \]
Sostituiamo e sommiamo:
\[ T = \dfrac{2}{16} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{9}{16} \]
È stata usata un totale di \(\dfrac{9}{16}\) del sacchetto.c) La frazione del sacchetto rimasta è:
\[ 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16 - 9}{16} = \dfrac{7}{16} \]
\(\dfrac{7}{16}\) del sacchetto di zucchero è rimasta. -
Domanda 17: John aveva $100 per comprare bevande e panini per la sua festa di compleanno. Ha comprato 5 piccole scatole di bevande a $4 per scatola e 8 scatole di panini a $6 per scatola. Quanti soldi gli sono rimasti dopo aver fatto la spesa?
► Soluzione alla Domanda 17
Soldi spesi per le bevande:
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Soldi spesi per i panini:
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Soldi totali spesi:
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Soldi rimasti dopo la spesa:
\[ 100 - 68 = \$32 \]
A John sono rimasti $32 dopo la spesa. -
Domanda 18: 55 lavoratori in una fabbrica producono 5500 giocattoli a settimana. Se i lavoratori in questa fabbrica lavorano 4 giorni a settimana e producono lo stesso numero di giocattoli ogni giorno, quanti giocattoli vengono prodotti ogni giorno da ogni lavoratore?
► Soluzione alla Domanda 18
Per trovare il numero di giocattoli prodotti ogni giorno, dividi il numero totale di giocattoli prodotti in una settimana per il numero di giorni lavorativi 4:
\[ \dfrac{5500}{4} = 1375 \text{ giocattoli} \]
1375 giocattoli sono prodotti ogni giorno da 55 lavoratori, quindi ogni lavoratore produce:
\[ 1375 \div 55 = 25 \]
Ogni lavoratore produce 25 giocattoli al giorno. -
Domanda 19: Tom, Julia, Mike e Fran hanno 175 carte da usare in un gioco. Hanno deciso di dividerle equamente. Quante carte dovrebbe prendere ognuno e quante carte avanzano?
► Soluzione alla Domanda 19
Per scoprire quante carte ogni persona dovrebbe prendere, dividi 175 per 4 (poiché ci sono 4 persone):
\[ 175 \div 4 = 43 \text{ Resto } 3 \]
Ogni persona dovrebbe prendere 43 carte e avanzeranno 3 carte. -
Domanda 20: La figura ombreggiata è composta da 5 quadrati congruenti. Il lato di un quadrato è 4 cm. Trova l'area totale della figura ombreggiata.
► Soluzione alla Domanda 20
L'area di un quadrato è uguale a:
\[ 4 \times 4 = 16 \; \text{centimetri quadrati} \]
L'intera figura ha 5 quadrati. L'area totale è:
\[ 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80 \; \text{centimetri quadrati} \]
oppure \[ 16 \times 5 = 80 \; \text{centimetri quadrati} \] -
Domanda 21: Sam, Carla e Sarah hanno trascorso un pomeriggio a raccogliere conchiglie. Sam ne ha raccolte 11. Se sommiamo il numero di conchiglie raccolte da Sam e Carla, il totale sarebbe 24. Se sommiamo il numero di conchiglie raccolte da Carla e Sarah, il totale sarebbe 25. Quante conchiglie ha raccolto ognuna?
► Soluzione alla Domanda 21
Sam = 11 conchiglie
Sam + Carla = 24 conchiglie
Quindi per trovare quante ne ha raccolte Carla:
\[ \text{Carla} = 24 - \text{Sam} = 24 - 11 = 13 \]
Carla + Sarah = 25 conchiglie
Abbiamo appena scoperto che Carla ne ha raccolte 13, quindi:
\[ \text{Sarah} = 25 - \text{Carla} = 25 - 13 = 12 \]
Sam ha raccolto 11 conchiglie, Carla ne ha raccolte 13 e Sarah ne ha raccolte 12. -
Domanda 22: Mr. Joshua corre 6 chilometri ogni giorno dal lunedì al venerdì. Corre anche 12 chilometri al giorno il sabato e la domenica. Quanti chilometri corre Joshua in una settimana?
► Soluzione alla Domanda 22
Dal lunedì al venerdì, ci sono 5 giorni. Corre 6 chilometri ogni giorno:
\[ 6 \times 5 = 30 \text{ chilometri} \]
Il sabato e la domenica, ci sono 2 giorni. Corre 12 chilometri ogni giorno:
\[ 12 \times 2 = 24 \text{ chilometri} \]
Chilometri totali corsi in una settimana:
\[ 30 + 24 = 54 \text{ chilometri} \]
Mr. Joshua corre 54 chilometri in una settimana. -
Domanda 23: Tom e Bob sono fratelli e avevano entrambi la stessa quantità di denaro che hanno messo insieme per comprare un giocattolo. Il costo del giocattolo era $22. Se il cassiere ha dato loro un resto di $6, quanti soldi aveva ognuno?
► Soluzione alla Domanda 23
Per prima cosa, trova la somma totale di denaro che avevano insieme. Hanno comprato un giocattolo per $22 e hanno ricevuto $6 indietro:
\[ 22 + 6 = 28 \]
Quindi, insieme avevano $28.
Poiché avevano la stessa quantità, dividi 28 per 2:
\[ 28 \div 2 = 14 \]
Ognuno di loro aveva $14. -
Domanda 24: John ha 5 scatole di dolci. Un gruppo di scatole ha 5 dolci in ogni scatola. Il secondo gruppo di scatole ha 4 dolci in ogni scatola. John ha un totale di 22 dolci. Quante scatole di ogni tipo ha John?
► Soluzione alla Domanda 24
Vengono presentati due metodi per risolvere questo problema. Se non hai ancora fatto algebra, il metodo della tabella è ottimo per te. Se conosci l'algebra e la risoluzione di equazioni, allora entrambi i metodi sono buoni per te.
Metodo della tabella
Possiamo creare una tabella per provare diversi numeri di scatole con 5 dolci e vedere quante scatole con 4 dolci sono necessarie per raggiungere un totale di 22 dolci.
Nota: Il numero totale di scatole è 5, quindi una volta selezionato il "Numero di scatole con 5 dolci" nella prima colonna a sinistra, il "Numero di scatole con 4 dolci" è uguale a 5 - "Numero di scatole con 5 dolci".Numero di scatole con 5 dolci Numero di scatole con 4 dolci Dolci totali 0 5 - 0 = 5 \( 0 \times 5 + 5 \times 4 = 20 \) 1 5 - 1 = 4 \(1 \times 5 + 4 \times 4 = 21 \) 2 5 - 2 = 3 \( \color{red}{2 \times 5 + 3 \times 4 = 22} \) 3 5 - 3 = 2 \(3 \times 5 + 2 \times 4 = 23 \) 4 5 - 4 = 1 \(4 \times 5 + 1 \times 4 = 24 \) 5 5 - 5 = 0 \(5 \times 5 + 0 \times 4 = 25\) Dalla tabella, possiamo vedere che quando John ha 2 scatole con 5 dolci e 3 scatole con 4 dolci, il numero totale di dolci è esattamente 22.
Metodo dell'algebra
Diciamo che John ha \( x \) scatole con 5 dolci ciascuna. Allora deve avere \( 5 - x \) scatole con 4 dolci ciascuna.
Equazione dei dolci totali:
\[ 5x + 4(5 - x) = 22 \]
\[ 5x + 20 - 4x = 22 \]
\[ x + 20 = 22 \]
\[ x = 2 \]
Quindi, John ha 2 scatole con 5 dolci ciascuna e \( 5 - x = 3 \) scatole con 4 dolci ciascuna. -
Domanda 25: Ci sono un totale di 16 polli e conigli in una fattoria. Il numero totale di zampe (polli e conigli) è uguale a 50. Quanti polli e quanti conigli ci sono? (Suggerimento: usa una tabella)
► Soluzione alla Domanda 25
Sia il numero di polli indicato con \( C \) e il numero di conigli con \( R \).
Il numero totale di animali è 16: \( C + R = 16 \).
I polli hanno 2 zampe ciascuno e i conigli hanno 4 zampe ciascuno. Zampe totali = 50: \( 2C + 4R = 50 \).Polli (C) Conigli (R) Zampe Totali = 2 C + 4 R 0 16 \(2 \times 0 + 4 \times 16 = 64\) 1 15 \(2 \times 1 + 4 \times 15 = 62\) 2 14 \( 2 \times 2 + 4 \times 14 = 60 \) 3 13 \( 2 \times 3 + 4 \times 13 = 58 \) 4 12 \( 2 \times 4 + 4 \times 12 = 56 \) 5 11 \(2 \times 5 + 4 \times 11 = 54\) 6 10 \(2 \times 6 + 4 \times 10 = 52\) 7 9 \(\color{red}{ 2 \times 7 + 4 \times 9 = 50 \quad \text{(Risposta Corretta)}}\) Quindi, ci sono 7 polli e 9 conigli nella fattoria.
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Domanda 26: Ci sono 4 polli in più rispetto ai conigli in una fattoria. Il numero totale di zampe (polli e conigli) è uguale a 44. Quanti polli e quanti conigli ci sono?
► Soluzione alla Domanda 26
Metodo dell'algebra
Sia il numero di conigli indicato con \( R \) e i polli con \( C \).
\( C = R + 4 \)
Zampe totali: \( 2C + 4R = 44 \)
Sostituisci \( C \):
\[ 2(R + 4) + 4R = 44 \]
\[ 2R + 8 + 4R = 44 \]
\[ 6R + 8 = 44 \implies 6R = 36 \implies R = 6 \]
\( C = 6 + 4 = 10 \). Quindi, 10 polli e 6 conigli.Metodo della tabella
Conigli (R) Polli (C = R + 4) Zampe Totali = 2C + 4 R 0 4 \(2 \times 4 + 4 \times 0 = 8\) 1 5 \(2 \times 5 + 4 \times 1 = 14\) 2 6 \(2 \times 6 + 4 \times 2 = 20\) 3 7 \(2 \times 7 + 4 \times 3 = 26\) 4 8 \(2 \times 8 + 4 \times 4 = 32\) 5 9 \(2 \times 9 + 4 \times 5 = 38\) 6 10 \(\color{red}{2 \times 10 + 4 \times 6 = 44 \quad \text{(Risposta Corretta)}}\) Quindi ci sono 10 polli e 6 conigli.