Trovare il m.c.m. e il M.C.D. di numeri interi - Esempi e domande con risposte (Quinta Elementare)

Impara a trovare il Minimo Comune Multiplo (m.c.m.) e il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di numeri interi con esempi passo-passo ed esercizi pratici con risposte. Usa le nostre calcolatrici interattive qui sotto per verificare le tue risposte:

Contenuto della Pagina

A - Trovare il Minimo Comune Multiplo (m.c.m.) di due numeri

Metodo 1:
Esempio 1: Trova il m.c.m. di 6 e 4 elencando i multipli.
Trova i primi multipli di 6 e 4:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
Il più basso multiplo comune a entrambi 6 e 4 è 12. Pertanto, il m.c.m. di 6 e 4 è 12.
Nota: questo metodo funziona meglio con numeri piccoli.


Metodo 2:
Trova il m.c.m. usando la fattorizzazione in numeri primi. La fattorizzazione usa i numeri primi (2, 3, 5, 7, 11, ...) per scomporre un numero intero.
Esempi di fattorizzazione in numeri primi:
\(4 = 2 \times 2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)

Esempio 2: Trova il m.c.m. di 6 e 4 usando la fattorizzazione in numeri primi.
Trova la fattorizzazione di ogni numero:
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Moltiplicando le forme fattorizzate:
\(6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\)
Poiché il fattore \(\underline{2}\) è contato due volte, rimuovilo da un termine per ottenere il minimo comune multiplo:
\(\text{m.c.m.} = 3 \times (2 \times 2) = 12\).


Esempio 3: Trova il m.c.m. di 20 e 24 usando la fattorizzazione in numeri primi.
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
Il prodotto in forma fattorizzata è \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\).
Rimuovendo i fattori duplicati \(\underline{2} \times \underline{2}\) da un termine si ottiene:
\(\text{m.c.m.} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\).


Esempio 4: Trova il m.c.m. di 1240 e 5300 usando la fattorizzazione in numeri primi.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Rimuovendo i fattori duplicati \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\) da un termine si ottiene:
\(\text{m.c.m.} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328.600\).


B - Trovare il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di due numeri

Esempio 5: Trova il M.C.D. di 6 e 4 usando la fattorizzazione in numeri primi.
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Il numero 2 è il massimo comune divisore condiviso sia da 6 che da 4. Pertanto, \(\text{M.C.D.} = 2\).

Esempio 6: Trova il M.C.D. di 20 e 24 usando la fattorizzazione in numeri primi.
\(20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\)
\(24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\)
Il M.C.D. è il prodotto di tutti i fattori comuni: \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).


Esempio 7: Trova il M.C.D. di 1240 e 5300 usando la fattorizzazione in numeri primi.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Il M.C.D. è dato da \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\).


C - Relazione tra il m.c.m. e il M.C.D. di due numeri

La tabella seguente illustra che il prodotto di due numeri interi qualsiasi equivale al prodotto del loro m.c.m. e M.C.D.

\((m , n)\) \(\text{m.c.m.}(m,n)\) \(\text{M.C.D.}(m,n)\) \(\text{m.c.m.}(m,n) \times \text{M.C.D.}(m,n)\) \(m \times n\)
\((4 , 6)\) 12 2 \(12 \times 2 = 24\) \(4 \times 6 = 24\)
\((20 , 24)\) 120 4 \(120 \times 4 = 480\) \(20 \times 24 = 480\)

Proprietà chiave: Per due numeri interi qualsiasi \(m\) e \(n\):

\(m \times n = \text{m.c.m.}(m,n) \times \text{M.C.D.}(m,n)\)


Domande e soluzioni passo-passo

Trova il m.c.m. e il M.C.D. di ogni coppia di numeri e verifica che il loro prodotto equivalga al prodotto del loro m.c.m. e M.C.D.

  1. Domanda A: 21 e 14

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    Spiegazione:

    • Fattorizzazione in numeri primi: \(21 = 3 \times 7\) e \(14 = 2 \times 7\).
    • M.C.D.: Il fattore comune è 7. Pertanto, \(\text{M.C.D.} = 7\).
    • m.c.m.: \(2 \times 3 \times 7 = 42\). Pertanto, \(\text{m.c.m.} = 42\).
    • Verifica: \(\text{M.C.D.} \times \text{m.c.m.} = 7 \times 42 = 294\) e \(21 \times 14 = 294\).

    Risposta: \(\text{M.C.D.} = 7\), \(\text{m.c.m.} = 42\)

  2. Domanda B: 45 e 55

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    Spiegazione:

    • Fattorizzazione in numeri primi: \(45 = 3^2 \times 5\) e \(55 = 5 \times 11\).
    • M.C.D.: Il fattore comune è 5. Pertanto, \(\text{M.C.D.} = 5\).
    • m.c.m.: \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). Pertanto, \(\text{m.c.m.} = 495\).
    • Verifica: \(\text{M.C.D.} \times \text{m.c.m.} = 5 \times 495 = 2475\) e \(45 \times 55 = 2475\).

    Risposta: \(\text{M.C.D.} = 5\), \(\text{m.c.m.} = 495\)

  3. Domanda C: 120 e 248

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    Spiegazione:

    • Fattorizzazione in numeri primi: \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) e \(248 = 2^3 \times 31\).
    • M.C.D.: Il fattore comune è \(2^3 = 8\). Pertanto, \(\text{M.C.D.} = 8\).
    • m.c.m.: \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). Pertanto, \(\text{m.c.m.} = 3720\).
    • Verifica: \(\text{M.C.D.} \times \text{m.c.m.} = 8 \times 3720 = 29760\) e \(120 \times 248 = 29760\).

    Risposta: \(\text{M.C.D.} = 8\), \(\text{m.c.m.} = 3720\)


Ulteriori Riferimenti e Link