I problemi logici di matematica per la classe 5ª su modelli numerici, addizione e sottrazione del tempo, tempo-distanza-velocità, frazioni e numeri misti, rapporti, percentuali, area e volume di rettangoli e quadrati sono presentati con soluzioni dettagliate passo dopo passo e spiegazioni.
Problemi e Soluzioni Passo dopo Passo
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Domanda 1: Sarah ha preparato una torta e l'ha tagliata in 8 fette uguali. Ha mangiato 3 fette e il suo amico Jake ne ha mangiata 1. Quale frazione di torta è rimasta? Semplifica la frazione se possibile.
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Fette totali = 8
Fette mangiate = 3 (Sarah) + 1 (Jake) = 4
Fette rimaste = \(8 - 4 = 4\)
\[ \text{Frazione rimasta} = \dfrac{4}{8} \]
Dividi sia il numeratore che il denominatore per 4:
\[ \text{Frazione rimasta} = \dfrac{4 \div 4}{8 \div 4} = \dfrac{1}{2} \] -
Domanda 2: Una libreria vende libri a $15 l'uno. Se un cliente acquista 3 libri e ottiene uno sconto del 25% sul prezzo totale, quanto pagherà il cliente in totale?
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Prezzo totale prima dello sconto: \[ 3 \times 15 = 45 \; \text{dollari} \]
Sconto totale: \[ 25\% \; \text{di} \; 45 = \dfrac{25}{100} \times 45 = 0,25 \times 45 = 11,25 \; \text{dollari} \]
Prezzo totale dopo lo sconto: \[ 45 - 11,25 = 33,75 \; \text{dollari} \]
Il cliente pagherà $33,75. -
Domanda 3: I primi quattro numeri in una sequenza sono 3, 6, 12, 24. Spiega il modello e trova il 7° numero della sequenza.
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Il modello parte da 3 e poi ogni numero viene moltiplicato per 2 per ottenere il successivo.
- 1°: 3
- 2°: \(3 \times 2 = 6\)
- 3°: \(6 \times 2 = 12\)
- 4°: \(12 \times 2 = 24\)
- 5°: \(24 \times 2 = 48\)
- 6°: \(48 \times 2 = 96\)
- 7°: \(96 \times 2 = 192\)
Il 7° numero della sequenza è 192. -
Domanda 4: A John occorrono 25 minuti per raggiungere il parcheggio a piedi e 45 minuti per guidare fino al lavoro. A che ora dovrebbe uscire di casa per arrivare al lavoro alle 9:00?
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Il tempo necessario a John per arrivare al lavoro è la somma del tempo per raggiungere il parcheggio a piedi e il tempo per guidare:
\[ \text{Tempo totale} = 25 + 45 = 70 \text{ minuti} \]
Poiché \(70 \text{ minuti} = 60 \text{ minuti} + 10 \text{ minuti} = 1 \text{ ora e } 10 \text{ minuti}\).
John deve uscire di casa 1 ora e 10 minuti prima delle 9:00:
\[ 9:00 - 1:10 = 7:50 \text{ a.m.} \]
John dovrebbe uscire di casa alle 7:50. -
Domanda 5: Kim può percorrere 4 chilometri in un'ora. Quanto tempo impiega Kim a percorrere 18 chilometri?
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Il tempo per percorrere 18 km è:
\[ \dfrac{18}{4} = 4,5 = 4 + \dfrac{1}{2} \]
Kim impiega 4,5 ore (o 4 ore e 30 minuti) per percorrere 18 chilometri. -
Domanda 6: Una fabbrica ha prodotto 2.300 televisori nel suo primo anno di produzione. 4.500 nel secondo anno, e 500 televisori in più nel terzo anno rispetto al secondo. Quanti televisori sono stati prodotti in tre anni?
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Numero di televisori prodotti nel terzo anno:
\[ 4500 + 500 = 5000 \]
Numero totale di televisori prodotti in tre anni:
\[ 2300 + 4500 + 5000 = 11800 \]
Conclusione: 11.800 televisori sono stati prodotti in 3 anni. -
Domanda 7: Tom e Bob hanno un totale di 49 giocattoli. Se Bob ha 5 giocattoli in più di Tom, quanti giocattoli ha ciascuno?
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Se togliamo 5 giocattoli dal totale di 49 e distribuiamo i rimanenti equamente tra Tom e Bob:
\[ 49 - 5 = 44 \]
Ciascuno avrà:
\[ \dfrac{44}{2} = 22 \text{ giocattoli} \]
Bob ha 5 giocattoli in più di Tom, quindi Bob ha:
\[ 22 + 5 = 27 \text{ giocattoli} \]
Tom ha 22 giocattoli e Bob ne ha 27. -
Domanda 8: John può mangiare un quarto di pizza in un minuto. Quanto tempo impiega John a mangiare una pizza e mezza?
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Metodo 1: Ci sono 4 quarti in una pizza intera e 2 quarti in mezza pizza. Quarti totali: \(4 + 2 = 6\) quarti.
A un minuto per quarto: \(6 \times 1 = 6\) minuti.Metodo 2: Una pizza e mezza corrisponde a \(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).
Dividendo per un quarto (\(\dfrac{1}{4}\)):
\[ \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{1} = 6 \text{ quarti} \]
John impiega \(6 \times 1 = 6\) minuti. -
Domanda 9: John ha letto per un quarto del tempo in cui ha letto Tom. Tom ha letto solo due quinti del tempo in cui ha letto Sasha. Sasha ha letto il doppio del tempo di Mike. Se Mike ha letto per 5 ore, per quanto tempo ha letto John?
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- Mike ha letto 5 ore.
- Sasha ha letto il doppio del tempo di Mike: \(2 \times 5 = 10\) ore.
- Tom ha letto due quinti del tempo di Sasha: \(\dfrac{2}{5} \times 10 = 4\) ore.
- John ha letto per un quarto del tempo di Tom: \(\dfrac{1}{4} \times 4 = 1\) ora.
Conclusione: John ha letto per 1 ora. -
Domanda 10: Jim, Carla e Tomy sono membri della stessa famiglia. Carla ha 5 anni più di Jim. Tomy ha 6 anni più di Carla. La somma delle loro tre età è 31 anni. Quanti anni ha ciascuno di loro?
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Metodo Algebrico:
Sia \(x\) l'età di Jim. L'età di Carla è \(x + 5\) e l'età di Tomy è \((x + 5) + 6 = x + 11\).
Somma delle età = 31:
\[ x + (x + 5) + (x + 11) = 31 \implies 3x + 16 = 31 \implies 3x = 15 \implies x = 5 \]
Jim ha 5 anni, Carla ha \(5 + 5 = 10\), e Tomy ha \(10 + 6 = 16\).Metodo della Tabella:
Età di Jim Età di Carla Età di Tomy La somma delle età 1 6 12 19 2 7 13 22 3 8 14 25 4 9 15 28 5 10 16 \(\color{red}{31 \text{ (Corretto)}}\) -
Domanda 11: Mel aveva $35,00 e ha prelevato altro denaro dal suo conto bancario. Ha comprato un paio di pantaloni a $34,00, due camicie a $16,00 l'una e due paia di scarpe a $24,00 l'una. Dopo lo shopping, gli sono rimasti $32,00. Quanto denaro ha prelevato Mel dalla banca?
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Mel ha speso:
- Pantaloni: $34,00
- Camicie: \(2 \times 16,00 = \$32,00\)
- Scarpe: \(2 \times 24,00 = \$48,00\)
Totale speso: \(34,00 + 32,00 + 48,00 = \$114,00\).
Denaro totale prima dello shopping (speso + rimanente): \(114,00 + 32,00 = \$146,00\).
Sottrai i $35,00 originali per trovare l'importo prelevato: \[ 146,00 - 35,00 = \$111,00 \]. -
Domanda 12: Quanti minuti ci sono in una settimana?
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1 settimana = 7 giorni
1 giorno = 24 ore
1 ora = 60 minuti
\[ 7 \times 24 \times 60 = 10.080 \text{ minuti} \] -
Domanda 13: A casa di Tim, una piscina rettangolare lunga 30 metri e larga 10 metri è circondata dall'erba. La piscina con l'area erbosa forma un grande rettangolo lungo 50 metri e largo 20 metri. Qual è l'area occupata dall'erba?
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Area del grande rettangolo (piscina ed erba) = \(50 \times 20 = 1000 \text{ m}^2\).
Area della piscina = \(30 \times 10 = 300 \text{ m}^2\).
Area dell'erba = \(1000 - 300 = 700 \text{ m}^2\). -
Domanda 14: Mary vuole costruire una scatola. Inizia con un pezzo di cartone lungo 15 centimetri e largo 10 centimetri. Poi taglia quadrati congruenti con un lato di 3 centimetri da ognuno dei quattro angoli. Qual è l'area del cartone dopo aver tagliato i 4 angoli?
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Area totale prima del taglio = \(15 \times 10 = 150 \text{ cm}^2\).
Area di un quadrato d'angolo = \(3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2\).
Area totale dei 4 angoli = \(4 \times 9 = 36 \text{ cm}^2\).
Area rimanente = \(150 - 36 = 114 \text{ cm}^2\). -
Domanda 15: Un imbianchino chiede $225,00 per i materiali e $35,00 all'ora per la manodopera. Il costo totale per imbiancare un ufficio è di $330,00. Quante ore ha impiegato l'imbianchino per dipingere l'ufficio?
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Costo manodopera = Costo totale - Costo materiali = \(330,00 - 225,00 = \$105,00\).
Numero di ore = \(105,00 \div 35 = 3 \text{ ore}\). -
Domanda 16: Tre macchinine e 4 trenini costano $18. Due macchinine e 3 trenini costano $13. Qual è il prezzo di una macchinina e il prezzo di un trenino se entrambi i prezzi sono numeri interi di Dollari?
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Metodo della Tabella:
Indovina prezzo macchinina Indovina prezzo trenino 3 macchinine + 4 trenini ($18?) 2 macchinine + 3 trenini ($13?) 1 1 \(3(1)+4(1) = 7\) - 1 2 \(3(1)+4(2) = 11\) - 1 3 \(3(1)+4(3) = 15\) - 1 4 \(3(1)+4(4) = 19\) - 2 1 \(3(2)+4(1) = 10\) - 2 2 \(3(2)+4(2) = 14\) - 2 3 \(3(2)+4(3) = 18\) \(\color{red}{2(2)+3(3) = 13 \text{ (Corretto)}}\) Metodo Algebrico:
Sia \(x\) il prezzo della macchinina e \(y\) il prezzo del trenino:
\(3x + 4y = 18\)
\(2x + 3y = 13\)
Risolvendo il sistema si ottiene \(x = \$2\) e \(y = \$3\). -
Domanda 17: Una scatola ha una lunghezza di 5 cm, una larghezza di 3 cm e un'altezza di 4 cm. Qual è il volume della scatola?
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\[ \text{Volume} = \text{lunghezza} \times \text{larghezza} \times \text{altezza} = 5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ cm}^3 \]
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Domanda 18: Un sacchetto contiene 6 palline rosse, 4 blu e 10 verdi. Se viene estratta una pallina a caso, qual è la probabilità che la pallina sia blu? Scrivi la risposta come frazione nella forma più semplice.
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Palline totali = \(6 + 4 + 10 = 20\).
Palline blu = 4.
Probabilità = \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\). -
Domanda 19: John ha comprato 3,75 metri di tessuto per fare una tenda. Ne ha usati 2,4 metri per una tenda e 0,85 metri per un'altra. Quanto tessuto gli è rimasto?
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Tessuto totale usato = \(2,4 + 0,85 = 3,25 \text{ metri}\).
Tessuto rimasto = \(3,75 - 3,25 = 0,5 \text{ metri}\). -
Domanda 20: Linda ha speso \(\dfrac{3}{4}\) dei suoi risparmi per l'arredamento. Ha poi speso \(\dfrac{1}{2}\) dei suoi risparmi rimanenti per un frigorifero. Se il frigorifero le è costato $150, quali erano i suoi risparmi originali?
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Risparmi rimanenti dopo l'arredamento = \(1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) dei risparmi originali \(x\).
Costo frigorifero: \(\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \implies \dfrac{x}{8} = 150 \implies x = 1200\).
I risparmi originali di Linda erano $1200. -
Domanda 21: Il perimetro del quadrato A è 3 volte il perimetro del quadrato B. Qual è il rapporto tra l'area del quadrato A e l'area del quadrato B?
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Siano \(x\) (quadrato A) e \(y\) (quadrato B) le lunghezze dei lati.
Perimetri: \(4x = 3(4y) \implies x = 3y\).
Eleva al quadrato entrambi i lati: \(x^2 = 9y^2\).
Rapporto delle aree = \(\dfrac{x^2}{y^2} = 9\), ovvero \(9:1\). -
Domanda 22: Mary vuole costruire una scatola rettangolare aperta. Inizia con un pezzo di cartone lungo 15 centimetri e largo 10 centimetri. Poi taglia 4 quadrati congruenti con lati di 3 centimetri ai quattro angoli e piega lungo le linee tratteggiate per costruire la scatola. Qual è il volume della scatola?
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Lunghezza scatola = \(15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm}\).
Larghezza scatola = \(10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm}\).
Altezza scatola = \(3 \text{ cm}\).
Volume = \(9 \times 4 \times 3 = 108 \text{ cm}^3\). -
Domanda 23: Un piccolo quadrato di lato \(2x\) viene tagliato da un angolo di un rettangolo la cui larghezza è 10 centimetri e la lunghezza è 20 centimetri. Scrivi un'espressione in termini di \(x\) per l'area della forma rimanente.
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Area rettangolo = \(20 \times 10 = 200\).
Area quadrato tagliato = \((2x) \times (2x) = 4x^2\).
Area rimanente = \(200 - 4x^2\). -
Domanda 24: Le coordinate del punto A sono (2, 3), e le coordinate del punto B sono (6, 7). Qual è la distanza tra i punti A e B?
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Usando la formula della distanza: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Sostituisci \((2, 3)\) e \((6, 7)\): \[ d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ unità} \]