Regola dell'addizione per le probabilità

La regola di addizione delle probabilità viene utilizzata per risolvere domande e problemi di probabilità. Diversi esempi sono presentati insieme alle loro soluzioni dettagliate.
Il background minimo necessario per comprendere gli esempi è il concetto di spazio campione di un esperimento e lo evento di interesse. Anche esaminare le domande sulla probabilità di base potrebbe essere utile.
In quanto segue, n(S) è il numero di elementi nello spazio campionario S e n(E) è il numero di elementi nell'evento E.

Spiegazione delle regole di aggiunta

Il modo migliore per spiegare la regola dell'addizione è risolvere il seguente esempio utilizzando due metodi diversi.

Esempio 1
Un dado equilibrato viene lanciato una volta, trova la probabilità di ottenere un numero dispari o un numero minore o uguale a \( 3 \).

Soluzione dell'esempio 1
Si suggeriscono due metodi.

Metodo 1: utilizza lo spazio campione
Lo spazio campionario S, che è l'insieme di tutti i possibili esiti, dell'esperimento di lancio di un dado è dato da
\( \quad \quad \quad S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
Il numero di elementi \( n(S) \) nell'insieme \( S \) è dato da \( n(S) = 6 \)
Sia E l'evento "ottenere un numero dispari o un numero minore o uguale a \( 3 \)". Controlla ogni elemento dello spazio campionario\( S \) per vedere se è dispari o minore o uguale a \( 3 \) per ottenere tutti i risultati appartenenti all'insieme E dato da
\( \quad \quad \quad E = \{1,2,3,5\} \)
Il numero di elementi \( n(E) \) nell'insieme \( E \) è dato da
\( \quad \quad \quad n(E) = 4 \)
Sia \( P(E) \) la probabilità che si verifichi l'evento E, definito sopra. Adesso usiamo la formula della probabilità classica per trovare \( P(E) \) come:
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)


Metodo 2: utilizza la formula di addizione
E è l'evento "ottenere un numero dispari o un numero minore o uguale a \( 3 \)" è infatti l'unione di due eventi: evento \( A \) corrispondente a "ottenere un numero dispari" ed evento \( B \) corrispondente a "ottenere un numero minore o uguale a \( 3 \)".
\( \quad \quad \quad A = \{1,3,5\} \)
\( \quad \quad \quad B = \{1,2,3\} \)
tale che
\( \quad \quad \quad E = A \cup B = \{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} \)
I diagrammi di Venn sotto mostrano l'insieme \( A \) e l'insieme \( B \) e la loro unione \( A \cup B \). Nota anche che l'intersezione di \( A \) e \( B \) ha due elementi: \( A \cap B = \{1,3\} \)



Siano \( n(E), n(A) \), \( n(B) \) e \( n(A \cap B) \) i numeri degli elementi negli insiemi \( E \), \( A \), \( B \) e \( (A \cap B) \) rispettivamente.
Lo sappiamo dall'alto \( \quad \quad \quad n(E) = 4 \) , \( n(A) = 3 \) , \( n(B) = 3 \) e \( n(A \cap B) = 2 \)
Possiamo scrivere: \( n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3 + 3 - 2 = 4 \)
Il motivo per cui abbiamo sottratto \( n(A \cap B) \) nell'espressione di \(n(E) \) sopra, è perché \( n(A \cap B) \) viene contato due volte: una volta in \( n(A) \) e una volta in \( n(B) \)
La probabilità \( P(E) \) dell'evento \( E = A \cup B \) è data da
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{n(A)+ n(B) - n(A \cap B) }{ n(S)} = \dfrac{n(A)}{ n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n( S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Quindi la regola generale dell'addizione nelle probabilità è data da
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] O \[ P(A \; \text{or} \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \text{or} \; B) \]
dove \( p(A) \) è la probabilità che si verifichi \( A \), \( P(B) \) è la probabilità che si verifichi \( B \) e \( P(A \cap B) \) è la probabilità che \( A \) e \( B \) si verifichino contemporaneamente.
\( \quad \quad \quad p(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3 } \)
Usa la regola dell'addizione sopra
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3\)
NOTA: se gli eventi \( A \) e \( B \) sono mutuamente esclusive, nel senso che non possono verificarsi contemporaneamente, l'intersezione \( A \cap B = \phi \), insieme vuoto, e quindi \( P(A \cap B) = 0 \) che semplifica la regola di addizione a
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] O \[ P(A \; \text{or} \; B) = P(A) + P(B) \]

Esempi sull'uso della regola dell'addizione

Esempio 2
Un dado equilibrato viene lanciato una volta, trova la probabilità di ottenere un "\( 1 \)" o un "\( 5 \) ".

Soluzione dell'esempio 2
Sia evento \( A \): ottenere un "\( 1 \)" ed evento \( B \): ottenere un "\( 5 \) ". Ci viene quindi chiesto di trovare \( P(A \cup B) \) che dato da
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Questi due eventi si escludono a vicenda perché non è possibile ottenere "\( 1 \)" e "\( 5 \) " contemporaneamente. Quindi
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
E
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
La probabilità di ottenere un \( 1 \) (evento A) quando si lancia un dado è
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac{1}{6} \)
La probabilità di ottenere un \( 5 \) (evento B) quando si lancia un dado è
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {1}{6} \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{ 3} \)

Esempio 3
Una scatola contiene 3 palline rosse, 2 palline verdi e 5 palline blu. Si estrae a caso una pallina dalla scatola. Trova la probabilità che la pallina sia verde o blu.

Soluzione dell'esempio 3
Sia evento \( A \): la pallina è verde ed evento \( B \): la pallina è blu. Ci viene quindi chiesto di trovare \( P(A \cup B) \) che è dato da ".
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
La probabilità di ottenere un verde (evento A) è calcolata come segue
Ci sono un totale di 10 palline e 2 sono verdi; quindi
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {2}{10} = 1/5 \)
La probabilità di ottenere un blu (evento B) è calcolata come segue
Ci sono un totale di 10 palline e 5 sono blu; quindi
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {5}{10} = 1/2 \)
Questi due eventi si escludono a vicenda: non possiamo ottenere contemporaneamente una pallina verde e una blu. Quindi
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
E
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/5 + 1/2 = 7/10 \)

Esempio 4
In una scuola di 100 studenti, 50 giocano a calcio, 20 giocano a basket e 10 giocano sia a calcio che a basket. Se uno studente viene selezionato a caso, qual è la probabilità che pratichi almeno uno dei due sport?

Soluzione dell'esempio 4
Let event \( A \): lo studente gioca a calcio , Let event \( B \): lo studente gioca a basket
Stiamo cercando la probabilità che lo studente selezionato giochi a calcio, basket o entrambi scritti come
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Se 50 studenti su 100 giocano a calcio, allora
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac{50}{100} = 1/2 \)
Se \( 20 \) su \( 100 \) gioca a basket, allora
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{20}{100} = 1/5 \)
Se 10 gioca entrambi, allora
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{10}{100} = 1/10 \)
e la probabilità che stiamo calcolando è data da
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 3/5 \)

Esempio 5
Una singola carta viene estratta da un mazzo. Trova la probabilità di selezionare quanto segue.
a) un "2" o un "5"
b) Un "8" o un "cuore"
c) Una "regina" o un "cartellino rosso"

Soluzione dell'esempio 5

a)
Sia evento \( A \): selezionando un "2" ed evento \( B \): selezionando un "5".
In un mazzo di 52 carte ci sono 4 "2" e 4 "5".
Gli eventi \( A \) e \( B \) si escludono a vicenda, non puoi ottenere un "2" e un "5" contemporaneamente se peschi una carta. Quindi
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P(B) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13 \)
b)
Sia evento \( C \): selezione di un "8" ed evento \( D \): selezione di un "cuore".
In un mazzo di 52 carte, ci sono 4 "8"; quindi
\( \quad \quad \quad P(C) = 4/52 = 1/13 \)
e 13 "cuori"; quindi
\( \quad \quad \quad P(D) = 13/52 = 1/4 \)
Gli eventi \( C \) e \( D \) NON si escludono a vicenda; puoi ottenere un "8" e un "cuore" allo stesso tempo se disegni un "8" di "cuori". Quindi
\( \quad \quad \quad P(C \cap D) = 1/52 \)
\( \quad \quad \quad P( C \cup D) = P(C) + P(D) - P( C \cup D) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/13 \)
c)
Sia l'evento \( E \): selezionando una "regina" e l'evento \( F \): selezionando un "cartellino rosso".
In un mazzo di 52 carte, ci sono 4 "Regine"; quindi
\( \quad \quad \quad P(E) = 4/52 = 1/13 \)
e 26 "cartellini rossi"; quindi
\( \quad \quad \quad P(F) = 26/52 = 1/2 \)
Gli eventi \( C \) e \( D \) NON si escludono a vicenda; puoi ottenere una "Regina" di "Cuori" che è un "cartellino rosso" e puoi anche ottenere una "Regina" di "Diamanti" che è un "cartellino rosso". Quindi
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 2/52 = 1/26 \)
\( \quad \quad \quad P( E \cup F) = P(E) + P(F) - P( E \cup F) = 1/13 + 1/2 - 2/52 = 7/13 \)

Esempio 6
Un rivenditore di auto ha le auto elencate nella tabella sottostante classificate per tipo e colore. Se un'auto viene scelta a caso, qual è la probabilità che lo sia?
a) un'auto nera o bianca?
b) un'auto blu o coupé?
c) un'auto nera o un SUV?

Esempio 7
La tabella seguente mostra il numero di ore che gli studenti dedicano ogni settimana ai compiti.

Esempio 8
I clienti di una compagnia assicurativa hanno almeno una delle due assicurazioni: casa, auto o entrambe. L'80% dei clienti ha un'assicurazione sulla casa e il 60% ha un'assicurazione auto. Se selezioniamo una persona a caso, qual è la probabilità che questa persona abbia entrambe le assicurazioni con la compagnia?


Soluzione dell'esempio 8
Sia event \( A \): avere un'assicurazione sulla casa ed event \( B \) : avere un'assicurazione auto.
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Dobbiamo trovare \( P(A \cap B) \)
Il 100% dei clienti ha una o entrambe le assicurazioni; quindi
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = 100\% \)
L'80% dei clienti ha un'assicurazione sulla casa, quindi
\( \quad \quad \quad P(A) = 80\% \)
Il 60% dei clienti ha un'assicurazione auto, quindi
\( \quad \quad \quad P(B) = 60\% \)
\( \quad \quad \quad 100\% = 80\% + 60\% - P(A \cap B) \)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 140\% - 100\% = 40\% = 0.4 \)

Altri riferimenti e link