La definizione delle probabilità condizionali è presentata insieme ad esempi e alle loro soluzioni e spiegazioni dettagliate. Altre domande sono incluse in fondo alla pagina seguite dalle loro soluzioni.
Definizione di probabilità condizionale
Usiamo un semplice esempio per spiegare le probabilità condizionali.
Esempio 1
a) Viene lanciato un dado equilibrato, qual è la probabilità che una faccia con "1", "2" o "3" punti è arrotolato?
b) Viene lanciato un dado equilibrato, qual è la probabilità che venga lanciata una faccia con "1", "2" o "3" punti dato (o sapendo) che il numero di punti tirati è dispari?
Soluzione dell'esempio 1
UN)
Sia S lo spazio campione (tutti i possibili risultati) quando viene lanciato un dado, quindi \( S \ ) dato che un insieme è dato da
\( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
\( n(S) = 6 \) , numero di elementi nell'insieme \( S \)
Sia A l'insieme che rappresenta l'evento "un "1", "2" o "3" è arrotolato", quindi
\(A = \{1,2,3\} \)
\( n(A) = 3 \) , numero di elementi in \( A \)
Usando la formula della probabilità classica, abbiamo
\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S} = 3/6 = 1/2 \)
B)
Evento \( A \) già definito nella parte a).
Sia \( B \) impostato che rappresenta l'evento "il numero di punti rotolati è dispari", quindi
\( B = \{1,3,5\} \)
Usiamo il diagramma di Venn per rappresentare gli insiemi A e B come segue
Poiché sappiamo che il numero ottenuto è nell'insieme B (numero dispari), la parte di \( A \) che non è nell'intersezione potrebbe essere omessa e ci ritroveremo con un spazio campione ristretto B (vedi diagramma sotto).
Il diagramma di Venn con lo spazio campionario ristretto (vedi diagramma sotto) rende il calcolo della probabilità di A dato B definito come segue
\( P(A|B) = \dfrac{\text{numero di elementi di A rimanenti in B }}{n(B)} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)} = \dfrac{2}{3} \)
Dividi il numeratore e il denominatore per \( n(S) \) lo spazio campionario di un dado rotolato che otteniamo
Per definizione, la probabilità che l'evento \( A \) si verifichi dato che \( B \) si è verificato è chiamata probabilità condizionata è scritta come \( P(A|B) \) e data da
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \; e \; B)}{P(B)} \]
o usando la notazione set
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Le formule precedenti sono valide per \( P(B) \ne 0 \)
NOTA Quando possibile, negli esempi seguenti utilizziamo la definizione come formula e anche lo spazio campionario ristretto per risolvere le domande di probabilità condizionale. Questo aiuta a comprendere più a fondo il concetto di probabilità condizionale.
Altri esempi con soluzioni dettagliate
Esempio 2
In un gruppo di bambini, se ne selezioni uno a caso la probabilità che gli piacciano le arance è 0,6, la probabilità che gli piacciano le arance E le mele è 0,3. Se un bambino a cui piacciono le arance viene scelto a caso, qual è la probabilità che gli piacciano anche le mele?
Soluzione dell'esempio 2
Sia l'evento O: al bambino piacciono le arance, l'evento A: al bambino piacciono le mele
Dato \( P(O) = 0,6 \)
Dato \( P(A \; e \; O) = 0,3 \)
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata \( P(A|O) \) che al bambino piacciano le mele dato che gli piacciono le arance.
Esempio 3
I risultati di un sondaggio condotto su un gruppo di 100 persone che hanno acquistato un telefono cellulare o un tablet di una delle due marche A e B sono riportati nella tabella seguente.
Cellulare
Tablet
Totale
A
20
10
30
B
30
40
70
Totale
50
50
100
Se una persona viene scelta a caso dal gruppo, qual è la probabilità che lo faccia?
a) ha acquistato la marca B?
b) hai acquistato un telefono cellulare di marca B?
c) ha acquistato un cellulare visto che ha acquistato la marca B?
Soluzione dell'esempio 3
Permettere
evento Mp: comprato un cellulare
evento T: acquistato un tablet
evento A: acquistato il marchio A
evento B: acquistato il marchio B
UN)
Un totale di 70 persone su un totale di 100 hanno acquistato il marchio B; quindi
\( P(B) = 70/100 = 0,7 \)
B)
Un totale di 30 persone su 100 ha acquistato un cellulare di marca B
\( P(Mp \; e \; B) = 30/100 = 0,3 \)
C)
\( P(Mp|B) = \dfrac{P(Mp \; e \; B)}{P(B)} = 0,3/0,7 = 3/7\)
La probabilità condizionale \( P(Mp|B) \) può anche essere trovata restringendo lo spazio campionario alla marca B.
I cellulari sono 30 su un totale di 70 di marca B; quindi
\( P(Mp|B) = \dfrac{30}{70} = 3/7 \)
Esempio 4
Una singola carta viene estratta da un mazzo. Viene estratta una carta a caso, trova la probabilità di selezionarne una
a) Re
b) cartellino rosso
c) Re del cartellino rosso
d) Re dato che si tratta di un cartellino rosso
e) cartellino rosso dato che si tratta di un re
f) Regina dato che è un Cuore
Soluzione dell'esempio 4
Tutti i risultati hanno la stessa probabilità di verificarsi.
a)
Fuori dallo spazio campione di 52 carte, ci sono 4 Re; quindi
\( P(Re) = \dfrac {4}{52} = 1/13 \)
b)
Sullo spazio campione di 52 carte, ce ne sono 26 rosse; quindi
\( P(rosso) = \dfrac {26}{52} = 1/2 \)
c)
2 carte sono Re di rosso su 52 carte; quindi
\( P( \text{Re e rosso}) = \dfrac{2}{52} = 1/26 \)
d)
Due metodi per rispondere alla domanda.
1) Utilizzando la definizione di probabilità condizionata data sopra
\( P( \text{Re dato che è un cartellino rosso}) = P(Re|rosso) = \dfrac{ P( \text{Re e rosso})}{P(rosso)} = \dfrac{1 /26}{1/2} = 1/13 \)
2) Utilizzo dello spazio campionario ristretto
Dei 26 cartellini rossi (spazio campione limitato al solo rosso poiché questa è la condizione) ce ne sono 2 rossi; quindi
\( P(Re|rosso) = 2/26 = 1/13\) come trovato sopra usando la definizione
e)
Due metodi per rispondere alla domanda.
1) Utilizzando la definizione di probabilità condizionata data sopra
\( P( \text{carta rossa dato che è un Re}) = P(rosso|Re) = \dfrac{ P( \text{rosso e Re})}{P(Re)} = \dfrac{1 /26}{1/13} = 1/2 \)
2) Utilizzo dello spazio campionario ristretto
Delle 4 carte Re (spazio campione ristretto ai Re) ce ne sono 2 rosse; quindi
\( P(rosso|Re) = 2/4 = 1/2\) come trovato sopra usando la definizione
f)
Due metodi per rispondere alla domanda.
1) Utilizzando la definizione di probabilità condizionata data sopra
\( P( \text{Regina dato che è Cuore}) = P(Regina|cuore) = \dfrac{ P( \text{Regina e Cuore})}{P(Cuore)} = \dfrac{1/52 }{13/52} = 1/13 \)
2) Utilizzo dello spazio campionario ristretto
Dei 13 cuori (spazio campione ristretto ai cuori) c'è 1 Re; quindi
\( P(Regina|cuore) = 1/13 \) come trovato sopra usando la definizione
Esempio 5
Un rivenditore di auto ha le auto elencate nella tabella sottostante classificate per tipo e colore. Se un'auto viene scelta a caso, qual è la probabilità che lo sia?
a) È nero sapendo che è un furgone
b) È un SUV sapendo che è bianco
c) È blu sapendo che è una Coupé
SUV
Auto sportiva
Furgone
Coupé
Totale
Nero
35
10
25
15
85
bianco
10
15
20
5
50
Blu
15
15
5
30
65
Totale
60
40
50
50
200
Soluzione dell'esempio 5
Ci sono 60 Suv, 40 Sport, 50 Furgoni e 50 Coupé, per un totale di 200 vetture.
Rispondiamo alle domande sulla ricerca delle probabilità condizionate utilizzando due metodi: 1) la definizione e 2) la restrizione dello spazio campionario.
UN)
Utilizzo della definizione di probabilità condizionale
Limita lo spazio campione alla Coupé, ci sono 50 Coupé di cui 30 blu. Quindi
\( P(blu|Coupe) = \dfrac{30}{50} = 3/5 \)
Esempio 6
I risultati di un sondaggio condotto su un gruppo di 100 persone che hanno assicurazioni con una certa compagnia sono i seguenti: il 40% ha assicurazioni sia per la casa che per l'auto con la compagnia.
La probabilità che una persona scelta a caso da questo gruppo abbia un'assicurazione auto è 0,7. Qual è la probabilità che una persona scelta a caso abbia un'assicurazione sulla casa sapendo di avere un'assicurazione sull'auto?
Soluzione dell'esempio 6
Facciamo caso H: persone con assicurazione casa, evento C: persone con assicurazione can
Abbiamo P(C) = 0,8 e P(H e C) = 0,5.
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata \(P(H|C)\) che una persona scelta a caso abbia un'assicurazione sulla casa (H) sapendo che questa persona ha un'assicurazione sull'auto (C). Quindi
\( P(H|C) = \dfrac{P(H \; e \; C)}{P(C)} = 0,5 / 0,8 = 0,625\)
Esempio 7
A un gruppo di 200 studenti è stato chiesto se giocassero a calcio oa basket. Tra il gruppo, 120 hanno dichiarato di aver giocato a calcio, 50 hanno dichiarato di aver giocato a basket e 20 hanno dichiarato di aver giocato sia a calcio che a basket.
a) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso dal gruppo giochi a calcio dato che gioca a basket?
b) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso dal gruppo giochi a basket dato che gioca a calcio?
c) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso dal gruppo giochi a calcio dato che gioca una sola partita.
Soluzione dell'esempio 7
Facciamo caso F: studenti che giocano a calcio, evento B: studenti che giocano a basket
UN)
Troviamo le seguenti probabilità
\( P(F) = 120 / 200 = 0,6 \)
\( P(B) = 50/200 = 0,25 \)
\( P(F \; e \; B) = 20 / 100 = 0,1 \)
B)
\( P(B|F) = \dfrac{P(B \; e \; F)}{P(F)} = 0,1 / 0,6 = 0,17 \)
C)
Sia l'evento O: studenti che giocano un solo gioco
Il numero di studenti che giocano a un solo gioco è
\( (120 - 20) + (50 - 20) = 130 \)
\( P(O) = 130/200 = 0,65 \)
\( P(F \; e \; O) = 100 / 200 = 0,5 \)
Si lancia un dado, trova la probabilità che si ottenga un numero pari sapendo che il numero è maggiore di 3.
Domanda 2
Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Trova la probabilità di ottenere un 3 sapendo che la carta è rossa.
Domanda 3
A un gruppo di 120 persone è stato chiesto se possedessero un'auto o una bicicletta. 90 hanno dichiarato di possedere un'auto, 40 di possedere una bicicletta e 10 hanno dichiarato di non possedere né un'auto né una bicicletta.
Se una persona viene scelta a caso da questo gruppo di persone, qual è la probabilità che questa persona
a) possiede un'auto e una bicicletta?
b) possiede un'auto visto che la persona selezionata possiede una bicicletta?
c) possiede una bicicletta dato che la persona possiede un'auto o una bicicletta ma non entrambe?
Domanda 4
Due società A e B offrono rispettivamente 70 e 50 prodotti. L'azienda A offre 40 prodotti software e 30 prodotti hardware. L'azienda B offre \( x \) prodotti hardware e \( y \) prodotti software da determinare.
Se un prodotto viene selezionato a caso, qual è la probabilità che
a) questo prodotto è un prodotto hardware dato che è dell'azienda B? (in termini di \( y \))
b) questo prodotto è un prodotto hardware dato che è dell'azienda A?
c) Per quali valori di \( y \) la probabilità nella parte a) sarà maggiore della probabilità nella parte b)?
Domanda 5
Un consulente finanziario ritiene che la probabilità che il mercato azionario scenda sia 0,8 dato che l'economia si deteriora. Il consulente ritiene inoltre che la probabilità che l'economia si deteriori sia 0,5.
Tenendo conto delle informazioni di cui sopra, qual è la probabilità che l'economia si deteriori e il mercato azionario scenda?
Soluzioni alle domande precedenti
Soluzione alla domanda 1
Lo spazio campionario nel lancio di un dado: \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
evento E: numero pari , \( E = \{2,4,6\} \)
evento G numero maggiore di 3: \( G = \{4,5,6\} \)
\( E \cap G = \{4,6\} \)
La domanda è trovare la probabilità che si ottenga un numero pari sapendo che il numero è maggiore di 3 scritto come probabilità condizionata \( P(E|G) \).
A questa domanda si potrebbe rispondere come segue
Ci sono 2 elementi in \( E \cap G \) e 3 elementi in \( G \)
Restringiamo lo spazio campionario all'evento \( G \); quindi
\( P(E|SOL) = \dfrac{n(E \cap SOL)}{n(SOL)} = 2/3 \)
Soluzione alla domanda 2
Sia l'evento T: ottenendo un 3 , ci sono 4 3 in un mazzo di carte, quindi \( P(T) = 4/52 = 1/13\).
Sia l'evento R: ottenendo un cartellino rosso , ci sono 26 cartellini rossi in un mazzo di carte, quindi \( P(R) = 26/52 = 1/2 \)
Ci sono carte di 2 3 che sono rosse, quindi \( P(T \cap R) = 2/52 = 1/26 \)
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata di ottenere un 3 sapendo che la carta è rossa scritta come \( P(T|R) \)
A questa domanda si potrebbe rispondere come segue
Ci sono 2 carte da 3 che sono rosse
Limitiamo lo spazio campionario ai cartellini rossi che sono 26, quindi
\( P(T|R) = 2/26 = 1/13 \)
Soluzione alla domanda 3
UN)
Sia C l'evento: possiede un'auto , Sia B l'evento: possiede una bicicletta
Ci viene chiesto di trovare \( P(C \cap B) \)
Sia \( x \) il numero di persone che possiedono un'auto e una bicicletta. Usando il diagramma di Venn, di seguito abbiamo \( 90 - x\) possedere solo un'auto, \( 40 - x\) possedere solo una bicicletta e \( 10 \) nessuna delle due e il totale è \( 120\); quindi
\( (90 - x) + (40 - x) + x + 10 = 120 \)
Risolvere per \( x \) da ottenere
\( x = 20 \)
\( P(C \cap B) = 20/120 = 1/6\)
b) possiede un'auto visto che la persona selezionata possiede una bicicletta?
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata \( P(C|B) \).
c) possiede una bicicletta dato che la persona possiede un'auto o una bicicletta ma non entrambe?
Let event COB : possedere un'auto o una bicicletta ma non entrambe
Le persone che possiedono un'auto o una bicicletta ma non entrambe sono incluse nel sindacato senza l'incrocio e il loro numero è
\( N = 70 + 20 = 90 \)
Ci viene chiesto di trovare la probabilità \( P(B|COB) \).
Organizziamo tutte le informazioni fornite su una tabella come segue
Software
Hardware
Totale
Azienda A
40
30
70
Azienda B
x
y
x + y
Totale
40+x
30+y
70+x+y
UN)
Il numero totale di prodotti è: \( 70 + 50 = 120 \)
Abbiamo anche
\(70+x+y = 120\)
che dà
\( x + y = 50 \)
Lascia che l'evento S: il prodotto selezionato sia un prodotto software, lascia che l'evento H: il prodotto selezionato sia un prodotto hardware
Lascia che l'evento A: il prodotto selezionato provenga dall'azienda A , lascia che l'evento B: il prodotto selezionato provenga dall'azienda B
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata \( P(H|B) \).
\( P(H|B) = \dfrac{P(H \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{y}{120}}{\dfrac{x+y}{120} } = \dfrac{y}{x+y} = y / 50\)
B)
Ci viene chiesto di trovare la probabilità condizionata \( P(H|A) \).
\( P(H|A) = \dfrac{P(H \cap A)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{30}{120}}{\dfrac{70}{120}} = \dfrac{3}{7}\)
C)
Dobbiamo risolvere la disuguaglianza
\(y / 50 \gt 3 / 7 \)
Moltiplica tutti i termini per 50 e semplifica
\( y \gt 150 / 7 \)
Semplificare
\( y \gt 21,42 \)
\( y \) è un numero intero positivo, quindi
\( y \ge 22 \)
Soluzione alla domanda 5
Sia l'evento E: l'economia si deteriorerà, sia l'evento S: il mercato azionario scenderà.
Ci viene data la probabilità condizionata \( P(S|E) = 0,8 \)
e la probabilità \( P(E) = 0,5\)
Ci viene chiesto di trovare \( P(S \cap E) \).
La definizione della probabilità condizionata dà
\( P(S|E) = \dfrac{P(S \cap E)}{P(E)} = 0,8 \)
quindi
\( P(S \cap E) = 0,8 \times P(E) = 0,8 \times 0,5 = 0,4 \)
