La legge della probabilità totale viene spiegata e utilizzata per risolvere esempi che includono spiegazioni dettagliate.
Spiegazione della legge della probabilità totale
Spartiamo lo spazio campionario \( S \) in \( n \) eventi che si escludono a vicenda \( E_1 \), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) e collettivamente esaustivi (che coprono l'intero spazio campionario \( S \) ).
Notare che
\( A = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup (A \cap E_3) ... \cup (A \cap E_n) \)
e poiché gli eventi \( E_i \) sono tutti mutuamente esclusivi, allora anche \( (A \cap E_i) \) sono tutti mutuamente esclusivi e quindi possiamo usare regola di addizione delle probabilità da scrivere
\[ P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + P(A \cap E_3) ... P(A \cap E_n) \]
Usando la definizione di probabilità condizionali scriviamo
\( P(A \cap E_n) = P(A | E_n) P(E_n) \),
e riscrivi la legge della probabilità totale come
\[ P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3) ... P(A | E_n) P( E_n) \]
\[ = \sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i) \]
Si noti che poiché \( E_1 \), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) sono collettivamente esaustivi, abbiamo
\( \sum_{i=1}^{n} P(E_i) = 1 \)
La Legge della Probabilità Totale Esempi con Soluzioni Dettagliate
Iniziamo con un semplice esempio che può essere risolto in due modi diversi e uno di questi utilizza la legge della probabilità totale.
Esempio 1
Abbiamo tre buste simili B1, B2 e B3 contenenti 4 palline ciascuna. B1 contiene 2 palline rosse e 2 blu, B2 contiene 3 palline rosse e 1 blu e B3 contiene 1 pallina rossa e 3 blu. Un sacchetto viene selezionato a caso e una pallina viene estratta a caso da quel sacchetto.
Qual è la probabilità che la pallina sia rossa?
Soluzione dell'esempio 1
Iniziamo da un diagramma che spiega cosa viene dato.
Presentiamo t
due metodi per risolvere la domanda di cui sopra:
Metodo 1: Usa il metodo classico di calcolo delle probabilità
In tutti e tre i sacchetti ci sono un totale di 12 palline di cui 6 rosse. Sia l'evento \( A \) quello della selezione di una pallina rossa. Quindi la probabilità che la pallina selezionata sia rossa è data da
\( P(A) = 6/12 = 1/2 \)
Metodo 2: Usa la legge della probabilità totale
Siano \( E_1 \), \( E_2 \) e \( E_3 \) rispettivamente l'evento di selezione borsa \( B_1 \), \( B_2 \) e \( B_3 \) e \( A \) il caso di selezione di una pallina rossa.
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3)\)
Le borse sono simili e quindi hanno la stessa probabilità di essere selezionate. Le probabilità di selezionare borse \( B_1 \), \( B_2 \) o \( B_3 \) a caso sono date da
\( P(E_1) = 1/3 \) (un sacchetto B1 su 3 sacchetti)
\( P(E_2) = 1/3 \) (un sacchetto B2 su 3 sacchetti)
\( P(E_3) = 1/3 \) (un sacchetto B3 su 3 sacchetti)
Le probabilità condizionali di selezionare una pallina rossa dato che si trova nella borsa \( B_1\), \( B_2 \) e \( B_3 \) sono date da
\( P(A | E_1) = 2/4 = 1/2 \) (2 palline rosse su un totale di 4 palline in B1)
\( P(A | E_2) = 3/4 \) (3 palline rosse su un totale di 4 palline in B2)
\( P(A | E_3) = 1/4 \) (1 pallina rossa su un totale di 4 palline in B3)
Usiamo ora la legge della probabilità totale
\( P(A) = (1/2)(1/3) + (3/4)(1/3) + (1/4)(1/3) = 1/2 \)
Nota che la legge della probabilità totale verrà utilizzata in situazioni in cui non è possibile utilizzare i metodi classici di calcolo delle probabilità, come vedremo negli esempi seguenti.
Esempio 2
Gli studenti di una classe di matematica in cui il 40% sono maschi e il 60% femmine hanno sostenuto un test. Il 50% dei maschi e il 70% delle femmine hanno superato il test. Quale percentuale di studenti ha superato il test?
Soluzione dell'esempio 2
Iniziamo disegnando un diagramma con l'intera classe compresi i gruppi di maschi e femmine.
Lascia che gli eventi \( E_1 \) "sia un maschio" e \( E_2 \) "sia una femmina", e l'evento \( A \) "ha superato il test".
La legge della probabilità totale dà
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) \)
\( = 50\% \volte 40\% + 70\% \volte 60\% = 62\% \)
Esempio 3
Tre fabbriche producono lo stesso strumento e lo forniscono al mercato. Lo stabilimento A produce il 30% degli utensili per il mercato e il restante 70% degli utensili viene prodotto negli stabilimenti B e C. Il 98% degli utensili prodotti nello stabilimento A, il 95% degli utensili prodotti nello stabilimento B e il 97% gli utensili prodotti nello stabilimento C non sono difettosi.
Quale percentuale di utensili dovrebbe essere prodotta dalle fabbriche B e C affinché un utensile scelto a caso sul mercato abbia una probabilità di non essere difettoso pari al 96%?
Soluzione dell'esempio 3
Iniziamo disegnando un diagramma di tutte e tre le fabbriche.
Siano \( A \), \(B\) e \( C \) gli eventi degli utensili prodotti dalle fabbriche A, B e C e \( ND \) l'evento "non difettoso".
\( x \) e \( y \) sono le percentuali di utensili che devono essere prodotte rispettivamente dalle aziende B e C.
Usando il diagramma sopra, possiamo scrivere
\( P(A) = 30\% \) , \( P(B) = x \) , \( P(C) = y \)
I tre stabilimenti riforniscono l'intero mercato; quindi
\( 30\% + x + y = 100\% \) che dà \( y = 70\% - x \)
Usa la legge della probabilità totale per scrivere l'equazione
\( P(ND) = P(ND|A) P(A) + P(ND|B) P(B) + P(ND|C) P(C) \)
\( = 98\% \volte 30\% + 95\% \volte x + 97\% \volte (70\% - x) = 96\% \)
Risolvi per \( x \)
L'azienda B produce: \( x = 0,65 = 65\% \)
L'azienda C produce: \( y =70\% - 65\% = 5\%\)
Esempio 4
Il 5% della popolazione ha l'influenza e il restante 95% non ha questa influenza.
Viene utilizzato un test per rilevare l'influenza e questo test è positivo nel 95% delle persone con influenza ed è anche (falsamente) positivo nell'1% delle persone senza influenza.
Se una persona di questa popolazione viene selezionata a caso e testata, qual è la probabilità che il test sia positivo?
Soluzione dell'esempio 4
Utilizzare il teorema della probabilità totale per trovare la percentuale come segue:
\( 5\% \volte 95\% + 95\% \volte 1\% = 5,7\% \)
