Soluzione dell'esempio 2
In quanto segue, H rappresenta le capo e T rappresenta le e croce
Due metodi per rispondere alla domanda nell'esempio 2 sono presentati per mostrare il vantaggio nell'usare la regola del prodotto data sopra.
Metodo 1: Utilizzo dello spazio campione
Lo spazio campionario S dell'esperimento del lancio di una moneta due volte è dato dal diagramma ad albero mostrato sotto
Il primo lancio dà due possibili esiti: T o H (in blu)
Il secondo lancio dà due possibili esiti: T o H (in rosso)
Dal diagramma ad albero, possiamo dedurre lo spazio campionario \( S \) impostato come segue
\( S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, H) \} \)
con \( n(S) = 4 \) dove \( n(S) \) è il numero di elementi nell'insieme \( S \)
L'evento \( E \) : "lanciare una moneta due volte e ottenere due croci " come set è dato da
\( E = \{(T,T) \} \)
con \( n(E) = 1 \) dove \( n(E) \) è il numero di elementi nell'insieme \( E \)
Utilizza la formula di probabilità classica per trovare \( P(E) \) come:
\( P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{1}{4}\)
Metodo 2: utilizza la regola del prodotto di due eventi indipendenti
L'evento \( E \) "lanciare una moneta due volte e ottenere una croce in ogni lancio" può essere considerato come due eventi
Evento \( A \) "lancia una moneta una volta e ottieni croce" ed evento \( B \) "lancia la moneta una seconda volta e ottieni croce"
con le probabilità di ciascun evento \( A \) e \(B \) date da
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \) e \( P(B) = \dfrac{1}{2} \)
L'evento E che si verifica può ora essere considerato come gli eventi A e B che si verificano. Gli eventi A e B sono indipendenti e quindi la regola del prodotto può essere utilizzata come segue
\( P(E) = P( A \; e \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
NOTA Se lanci una moneta un gran numero di volte, lo spazio campionario avrà un gran numero di elementi e quindi il metodo 2 è molto più pratico da usare rispetto al metodo 1 dove hai un gran numero di esiti.
Presentiamo ora altri esempi e domande su come viene utilizzata la regola del prodotto di eventi indipendenti per risolvere i problemi di probabilità.
Esempio 3
Si lancia una moneta e si lancia un dado. Qual è la probabilità di ottenere testa e \( 4 \)?
Soluzione dell'esempio 3
Abbiamo due eventi indipendenti da considerare:
Evento A "lancia una moneta e ottieni testa" ed evento B "tira un dado e ottieni un \( 4 \) "
Quando si lancia una moneta, la probabilità che esca testa è
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \)
Quando si lancia il dado, la probabilità di ottenere un \( 4 \) è
\( P(B) = \dfrac{1}{6} \)
\( P ( \) " ottenendo una testa e un \( 4 \) " \( ) = P( A \; e \; B) = P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)
Esempio 4
Un barattolo contiene 3 palline blu, 2 bianche e 5 rosse. Una pallina viene selezionata a caso e il colore annotato viene poi rimesso all'interno del barattolo. Viene selezionata una seconda pallina, annotata il suo colore e rimessa all'interno del barattolo. Viene selezionata una terza pallina e ne viene annotato il colore.
Qual è la probabilità di
a) selezionando 3 palline rosse
b) selezionare una pallina blu, poi una pallina bianca e poi una pallina blu
c) selezionando una pallina rossa, poi una bianca e poi una pallina blu
Soluzione dell'esempio 4
a)
Lascia che l'evento A "scelga una pallina rossa la prima volta",
evento B "seleziona una pallina rossa la seconda volta"
e l'evento C "seleziona una pallina rossa per la terza volta"
Tutti e tre gli eventi A, B e C sono indipendenti perché la pallina selezionata viene rimessa di nuovo nel barattolo.
Il numero totale di palline è 10 e ci sono 5 palline rosse.
Calcoliamo ora la probabilità di selezionare una pallina rossa.
Ci sono 5 palline rosse su un totale di 10, quindi
\( P(A) \) = \( P(B) \) = \( P(C) \) =\( P(rosso) = \dfrac{5}{10} \\ = \dfrac{1} {2} \)
Usiamo una formula estesa a tre eventi indipendenti
\( P( \; A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
b)
Lascia che l'evento A "scelga una pallina blu la prima volta",
evento B "seleziona una pallina bianca la seconda volta"
e l'evento C "seleziona una pallina blu per la terza volta"
\( P(A) = P(blu) = \dfrac{3}{10} \quad , \quad P(B) = P(bianco) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{ 5} \quad , \quad P(C) = P(blu) = \dfrac{3}{10}\)
\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{9}{5000} \)
c)
Lascia che l'evento A "scelga una pallina rossa la prima volta",
evento B "seleziona una pallina bianca la seconda volta"
e l'evento C "seleziona una pallina blu per la terza volta"
\( P(A) = P(rosso) = 1/2 \)
\( P(B) = P(bianco) = 1/5 \)
\( P(C) = P(blu) = 3/10 \)
\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{3}{100} \)
Esempio 5
Una carta viene estratta da un mazzo di 52 carte e poi sostituita e viene estratta una seconda carta. Trova la probabilità di ottenere un "2" e poi un "Re".
Soluzione dell'esempio 5
Abbiamo due eventi indipendenti da considerare:
Evento A "pesca una carta e ottiene un 2" ed evento B "pesca una carta e ottiene un re"
Poiché la carta viene sostituita, i due eventi A e B sono indipendenti.
Troviamo prima \( P(A) \) e \( P(B) \).
\( P(A) = 4/52 = 1/13 \)
\( P(B) = 4/52 = 1/13 \)
\( P (A \; e \; B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169 } \)
