Funzioni quadratiche in Forma Standard

Quadratica funzioni in forma standard

f (x) = a (x - h) 2 + k

e le propriet� dei loro grafici come vertice e x ed intercetta y sono esplorate, in modo interattivo, utilizzando un applet.

Il grafico di una funzione quadratica � a "U" e si chiama una parabola. L'esplorazione avviene modificando i valori di tutti e 3 i coefficienti a, h e k. Una volta terminata l'attuale tutorial, si consiglia di passare attraverso un altro tutorial su grafica funzioni quadratiche.

Questa forma della funzione quadratica � chiamata anche la forma vertice.

A - Vertex, valori massimi e minimi di una funzione quadratica


f (x) = a (x - h) 2 + k


Il termine (x - h) 2 � un quadrato, quindi, positivo o uguale a zero.

(x - h) 2> = 0

Se si moltiplicano entrambi i lati della disuguaglianza di cui sopra da parte coefficiente di uno, ci sono due possibilit� di esaminare, � positivo o negativo.

Caso 1: uno � positivo
a (x - h) 2 >= 0.

Aggiungere k ai lati destro e sinistro della disuguaglianza

a (x - h) 2 + K> = k.

Il lato sinistro rappresenta f (x), quindi f (x)> = k. Ci� significa che k � il valore minimo della funzione f.

Caso 2: uno � negativo
a (x - h) 2 <= 0.

Aggiungere k ai lati destro e sinistro della disuguaglianza

a (x - h) 2 + k <= k.

Il lato sinistro rappresenta f (x), quindi f (x) <= k. Ci� significa che k � il valore massimo della funzione f.

Si noti inoltre che k = f (h), quindi il punto (h, k) rappresenta un punto di minimo, quando uno � positivo e un punto di massimo, quando uno � negativo. Questo punto � chiamato il vertice del grafico di f.

Esempio: Trovare il vertice del grafico di ogni funzione e di identificare come un punto di minimo o massimo.
a) f (x) = - (x + 2) 2 - 1
b) f (x) =-x 2 + 2
c) f (x) = 2 (x - 3) 2

a) f (x) = - (x + 2) 2 - 1 = - (x - (-2)) 2 - 1
a = -1, h = -2 e k = -1. Il vertice � in (-2, -1), ed � un punto di massimo in quanto a � negativo.

b) f (x) =-x 2 + 2 = - (x - 0) 2 + 2
a = -1, h = 0 e k = 2. Il vertice � a (0,2) ed � un punto di massimo in quanto a � negativo.

c) f (x) = 2 (x - 3) 2 = 2 (x - 3)) 2 + 0
a = 2, h = 3 e k = 0. Il vertice � a (3,0) ed � un punto di minimo in quanto uno � positivo.

Tutorial Interattivo
Il bottone qui sotto si avvia l'applet su uno schermo separato di grandi dimensioni.


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1 - Fare clic sul pulsante sopra "clicca qui per iniziare" per avviare l'applet e massimizzare la finestra ottenuti.

2 - Utilizzare i cursori sul pannello di sinistra della applet per impostare uno a -1, h a -2 e k a 1. Controllare la posizione del vertice e se si tratta di un minimo o un punto di massimo. Confrontare a parte uno) nell'esempio precedente.

3 - Utilizzare i cursori per impostare uno a -1, h a 0 e k a 2. Controllare la posizione del vertice e se si tratta di un minimo o un punto di massimo. Confrontare a parte b) nell'esempio precedente.

4 - Impostare una a 2, h a 3 e k a 0. Controllare la posizione del vertice e se si tratta di un minimo o un punto di massimo. Confrontare a parte c) nell'esempio precedente.

5 - h Set e k ad alcuni valori e di valori positivi. Controllare che il vertice � sempre un punto di minimo.

6 - Imposta h e k ad alcuni valori e di valori negativi. Controllare che il vertice � sempre un punto di massimo.

B - x intercetta del grafico di una funzione quadratica in forma standard


L'intercetta x del grafico di una funzione quadratica f data da
f (x) = a (x - h) 2 + k

sono le soluzioni reali, se esistono, dell'equazione quadratica
a (x - h) 2 + k = 0


a (x - h) 2 = -k, aggiungere -k per entrambe le parti

(x - h) 2 = -k / a dividere entrambi i lati da un

L'equazione di cui sopra ha soluzioni reali se -k/a � positivo o pari a zero.

Le soluzioni sono date da

x1 = h + sqrt (-k / a)
x2 = h - sqrt (-k / a)

Esempio: Trova la x intercetta per il grafico di ogni funzione indicati di seguito

a) f (x) = -2 (x - 3) 2 + 2
b) g (x) = - (x + 2) 2
c) h (x) = 4 (x - 1) 2 + 5

a) Per trovare la x intercettazioni, risolviamo

-2 (X - 3) 2 + 2 = 0

-2 (X - 3) 2 = -2

(x - 3) 2 = 1

due soluzioni reali x1 = 3 + sqrt (1) = 4 e x2 = 3 - sqrt (1) = 2

Il grafico della funzione in parte) ha due x intercetta sono i punti (4,0) e (2,0)

b) Risolviamo

- (x + 2) 2 = 0

uno ripetuto vera soluzione x1 = - 2

Il grafico della funzione in parte b) � uno x intercetta (-2,0).

c) Risolviamo

4 (x - 1) 2 + 5 = 0

-k / a = -5 / 4 � negativo. L'equazione di cui sopra non ha soluzioni reali e il grafico della funzione h non ha intercetta x.

Tutorial Interattivo

1 - Tornate alla finestra applet e impostare i valori di a, h e k per ciascuno degli esempi in parti a, b, c di cui sopra e cercare la la x intercetta dei grafici corrispondenti.

2 - Utilizzare la finestra applet di trovare qualsiasi x intercetta per le seguenti funzioni. Utilizzare il metodo analitico descritto nell'esempio precedente per trovare l'intercetta x e confrontare i risultati.
a) f (x) = 5 (x - 3) 2 + 3
b) g (x) = - (x + 2) 2 + 1
c) h (x) = 3 (x - 1) 2

3 - Utilizzare la finestra di applet e di impostare una e k a valori tali che-K / A <0. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?

4 - Utilizzare la finestra di applet e di k fissato pari a zero. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?

5 - Utilizzare la finestra di applet e di impostare una e k a valori tali che-k / a> 0. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?

C - Dalla forma vertice di forma generale con a, b, c.


Riscrivere la forma vertice di una funzione quadratica nella forma generale � effettuata da ampliare la piazza in forma di raggruppamento come vertice e termini.

Esempio: riscrittura f (x) = - (x - 2) 2 - 4 in forma generale, con coefficienti a, b, c.

Ampliare la piazza, se f (x) e il gruppo come termini

f (x) = - (x - 2) 2) - 4 = - (x 2 -4 x + 4) - 4

= - X 2 + 4 x - 8

Un tutorial su come trovare l'equazione di una funzione quadratica dato il suo grafico si possono trovare in questo sito.

Riferimenti pi� sulle funzioni quadratiche e loro propriet�.








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Aggiornato: 27 novembre 2007 (A Dendane)