Le probabilità sono associate a esperimenti in cui il risultato non è noto in anticipo o non può essere previsto. Ad esempio, se lanci una moneta, otterrai testa o croce? Se tiri un dado otterrai 1, 2, 3, 4, 5 o 6?
La probabilità misura e quantifica "quanto è probabile" che si verifichi un evento correlato a questi tipi di esperimenti. Il valore di una probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 inclusi. Un evento che non può verificarsi ha una probabilità (di accadere) pari a 0 e la probabilità di un evento che è certo che si verificherà ha una probabilità pari a 1. (vedi scala di probabilità sotto).
Per quantificare le probabilità, dobbiamo definire lo spazio campione di un esperimento e gli eventi che possono essere associati a quell'esperimento.
Esempio di spazio ed eventi
Lo spazio campione è l'insieme di tutti i possibili risultati in un esperimento.
Esempio 1: Se si lancia un dado, lo spazio campionario S è dato da
S = {1,2,3,4,5,6}
Esempio 2: Se vengono lanciate due monete, lo spazio campionario S è dato da
S = {HH,HT,TH,TT} , dove H = testa e T = croce.
Esempio 3: Se vengono lanciati due dadi, lo spazio campionario S è dato da
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Definiamo un evento come un risultato specifico di un esperimento. Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario.
Esempio 4: Viene lanciato un dado (vedi esempio 1 sopra per lo spazio campione). Definiamo l'evento E come l'insieme dei possibili esiti in cui il numero sulla faccia del dado è pari. L'evento E è dato da
E = {2,4,6}
Esempio 5: Vengono lanciate due monete (vedi esempio 2 sopra per lo spazio campione). Definiamo l'evento E come l'insieme dei possibili esiti in cui il numero di teste ottenuti è pari a due. L'evento E è dato da
E = {(HT),(TH)}
Esempio 6: Vengono lanciati due dadi (vedi esempio 3 sopra per lo spazio campione). Definiamo l'evento E come l'insieme dei possibili esiti in cui la somma dei numeri sulle facce dei due dadi è uguale a quattro. L'evento E è dato da
E = {(1,3),(2,2),(3,1)}
Come calcolare le probabilità?
1 - Formula di probabilità classica
Si basa sul fatto che tutti i risultati sono ugualmente probabili.
Numero totale di risultati in E
P(E)=
________________________________________________
Numero totale di risultati nello spazio campione
Esempio 7: Viene lanciato un dado, trova la probabilità di ottenere un 3.
L'evento di interesse è "ottenere un 3". quindi E = {3}.
Lo spazio campionario S è dato da S = {1,2,3,4,5,6}.
Il numero di possibili risultati in E è 1 e il numero di possibili risultati in S è 6. Quindi la probabilità di ottenere un 3 è
P(E) = 1 / 6.
Esempio 8: Viene lanciato un dado, trova la probabilità di ottenere un numero pari.
L'evento di interesse è "ottenere un numero pari". quindi E = {2,4,6}, i numeri pari su un dado.
Lo spazio campionario S è dato da S = {1,2,3,4,5,6}.
Il numero di possibili risultati in E è 3 e il numero di possibili risultati in S è 6. Quindi la probabilità di ottenere un numero pari è
P(E) = 3 / 6 = 1 / 2.
2 - Formula di probabilità empirica
Utilizza dati reali sulle situazioni presenti per determinare come i risultati probabili si verificheranno in futuro. Chiariamo questo con un esempio
A 30 persone è stato chiesto dei colori che preferiscono ed ecco i risultati:
Colore
frequenza
rosso
10
blu
15
verde
5
Se una persona viene scelta a caso dal suddetto gruppo di 30, qual è la probabilità che a questa persona piaccia il colore rosso?
Sia l'evento E "gli piace il colore rosso". Quindi
Frequenza per il colore rosso
P(E)=
________________________________________________
Frequenze totali nella tabella precedente
= 10 / 30 = 1 / 3
Esempio 9: La tabella seguente mostra la distribuzione degli studenti per classe in una scuola.
Grado
frequenza
1
50
2
30
3
40
4
42
5
38
6
50
Se uno studente viene selezionato a caso da questa scuola, qual è la probabilità che questo studente sia in terza elementare?
Lascia che l'evento E sia "studente dal grado 3". Quindi
