ド・モアブルの定理ビジュアライザー | 複素数ラボ

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理は、複素数理論における基本的な結果であり、複素数と三角関数を結びつけます。複素数の累乗と累乗根を計算する強力な方法を提供します。

定理

極形式で表された任意の複素数と任意の整数 n について：

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

応用

• 累乗の計算: この定理は、複素数の整数乗を計算することを、絶対値を n 回乗算し、偏角を n 倍することで簡略化します。
• 累乗根の計算: この定理は複素数の n 乗根を求めるために拡張できます：

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

\( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \) について、 \( n \) 個の根 \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \) が得られます

このツールの使い方

• 複素数の実部と虚部を入力してください
• 累乗または累乗根のどちらを計算するか選択してください
• 指数（累乗の場合）または根の次数（累乗根の場合）を設定してください
• 「計算＆可視化」をクリックして結果を表示してください
• ズームコントロールを使用して複素平面の表示を調整してください

可視化では、元の複素数と計算された累乗または累乗根が複素平面上に表示され、正の角度は正の実軸から反時計回りに、負の角度は時計回りに測定されます。