음의 지수: 질문 및 단계별 해답 - 8학년

이 페이지는 엄선된 질문과 설명이 포함된 단계별 해답을 통해 학생, 학부모, 교사가 음의 지수 개념을 마스터할 수 있도록 설계되었습니다. 각 질문 아래에 숨겨진 해답을 펼쳐 모든 단계의 핵심 규칙과 사고 과정을 확인해 보세요.

이 페이지의 문제는 다음과 같은 필수 대수적 기술을 다룹니다:

참고: 지수의 핵심 규칙

규칙 이름 공식
음의 지수 법칙 \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
분수의 음의 지수 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
곱의 거듭제곱 \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
몫의 거듭제곱 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
영(0) 지수 법칙 \( a^0 = 1 \)   (단, \( a \neq 0 \))

연습 문제 및 해답

  1. 식을 간소화하시오: \( 5^{-2} \)
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    1단계: 음의 지수 법칙 \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)을 적용합니다.
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    2단계: 분모의 제곱을 계산합니다.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. 계산하시오: \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
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    1단계: 분수의 음의 지수 법칙 \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)을 사용합니다. 분수를 뒤집고 지수를 양수로 만듭니다.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    2단계: 괄호 안의 분수를 간소화합니다.
    \[ = (-3)^2 \]
    3단계: 음수를 제곱하면 양수가 됩니다.
    \[ = 9 \]
  3. 식을 간소화하시오: \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
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    1단계: 음의 지수 법칙을 적용하여 분수 선을 가로질러 인수를 이동합니다. 분자에 있는 음의 지수는 분모로 이동하고, 분모에 있는 음의 지수는 분자로 이동합니다.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    2단계: 간소화합니다.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. 계산하시오: \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
    단계별 해답 보기
    1단계: 음의 지수 법칙을 사용하여 각 항을 다시 씁니다.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    2단계: 지수를 계산합니다.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    3단계: 분수끼리 곱합니다.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. 식을 간소화하시오: \( -2^{-3} \)
    단계별 해답 보기
    1단계: 연산 순서를 이해합니다. 지수는 마이너스 부호가 아니라 밑인 \(2\)에만 적용됩니다.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    2단계: 밑에 음의 지수 법칙을 적용합니다.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    3단계: 지수를 계산합니다.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. 계산하시오: \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
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    1단계: 덧셈이나 부호 반전보다 지수 계산을 먼저 합니다. \( -1^{-3} \)에서 지수는 \(1\)에만 적용됨에 유의하세요.
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    2단계: 분모를 계산합니다.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    3단계: 항들을 더하기 위해 공통분모를 찾습니다.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. 계산하시오: \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
    단계별 해답 보기
    1단계: 여기서 괄호는 마이너스 부호가 밑의 일부임을 의미합니다. 음의 지수 법칙을 적용합니다.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    2단계: 지수를 계산합니다. 짝수 거듭제곱을 한 음수는 양수가 됩니다.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    3단계: 더하기 위해 공통분모를 찾습니다.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. 식을 간소화하시오: \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
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    1단계: 첫 번째 항을 처리합니다. 지수 \(-2\)는 마이너스 부호가 아니라 \(4\)에만 적용됩니다.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    2단계: 지수를 계산합니다.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    3단계: 곱하고 분수를 간소화합니다.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. 계산하시오: \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
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    1단계: 첫 번째 항에는 음의 지수 법칙을 적용하고, 두 번째 항에는 영(0) 지수 법칙(\(a^0 = 1\))을 기억합니다.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    2단계: 지수를 계산합니다. 홀수 거듭제곱을 한 음수는 여전히 음수입니다.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    3단계: 간소화합니다.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. 계산하시오: \( 0^{-3} \)
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    1단계: 음의 지수 법칙을 사용하여 다시 씁니다.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    2단계: 분모를 계산합니다.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    3단계: 0으로 나누기는 수학적으로 불가능합니다. 따라서 이 식은 정의되지 않습니다(undefined).

링크 및 참고 자료