연습 문제 및 해답
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자동차가 4시간 41분 동안 281마일을 이동했습니다. 시속 마일(mph)로 나타낸 자동차의 평균 속력은 얼마입니까?
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먼저 4시간 41분의 시간을 시간 단위로 환산합니다:
\[ 4\ \text{시간} + 41\ \text{분} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{시간} \]평균 속력 \( S \)는 거리를 시간으로 나누어 구합니다:
\[ S = \dfrac{281\ \text{마일}}{\dfrac{281}{60}\ \text{시간}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{마일/시} \] -
\( x \)를 구하시오:
\[ 5x - 7 = 3x + 9 \]단계별 해답 보기
\( 5x - 7 = 3x + 9 \)에서 시작합니다:
양변에서 \( 3x \)를 뺍니다: \( 2x - 7 = 9 \)
양변에 7을 더합니다: \( 2x = 16 \)
양변을 2로 나눕니다: \( x = 8 \)
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연립방정식을 푸시오:
\[ 2x + 3y = 12 \]
\[ 4x - y = 7 \]단계별 해답 보기
두 번째 방정식 \( 4x - y = 7 \)에서 \( y \)를 구합니다: \( y = 4x - 7 \)
\( y \)를 첫 번째 방정식 \( 2x + 3y = 12 \)에 대입합니다:
\[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]\( x \)를 다시 \( y = 4x - 7 \)에 대입합니다:
\[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \] -
식을 간소화하시오:
\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]단계별 해답 보기
먼저 제곱인 인수를 찾아 각 제곱근을 간소화합니다:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]간소화된 두 항을 더합니다: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
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평행인 두 변의 길이가 각각 10 cm와 14 cm이고 높이가 6 cm인 사다리꼴의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
사다리꼴 넓이 공식은 \( A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \)입니다.
\[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{cm}^2 \] -
직사각형의 길이는 너비의 4배입니다. 넓이가 100 m2일 때, 직사각형의 길이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
너비를 \( W \)라고 합시다. 길이 \( L \)은 \( 4W \)입니다. 넓이 공식에 따르면:
\[ \text{넓이} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{m} \]길이는 \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{m} \)입니다.
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직사각형의 길이가 원래 크기의 2배로 늘어나고, 너비가 원래 크기의 3배로 늘어났습니다. 새로운 직사각형의 넓이가 1800 제곱미터와 같다면, 원래 직사각형의 넓이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
원래 넓이를 \( A_{\text{original}} = L \times W \)라고 합시다.
새로운 가로세로 크기는 \( 2L \)과 \( 3W \)입니다. 새로운 넓이는 다음과 같습니다:
\[ A_{\text{new}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]원래 넓이(\( LW \))를 구합니다: \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{m}^2 \).
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정육면체의 각 모서리 크기가 원래 크기의 두 배로 늘어났습니다. 새 정육면체의 부피가 64,000 세제곱센티미터일 때, 원래 정육면체 한 면의 넓이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
원래 모서리 길이를 \( x \)라고 합시다. 새로운 모서리 길이는 \( 2x \)입니다.
새로운 부피는 \( (2x)^3 = 8x^3 = 64,000 \)입니다.
\[ x^3 = 8,000 \implies x = \sqrt[3]{8,000} = 20\ \text{cm} \]원래 정육면체 한 면의 넓이는 \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{cm}^2 \)입니다.
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펌프 A는 물탱크를 5시간 만에 채울 수 있고, 펌프 B는 같은 탱크를 8시간 만에 채울 수 있습니다. 두 펌프가 함께 작동하여 탱크를 채우는 데는 얼마나 걸립니까? (가장 가까운 분 단위로 반올림하시오.)
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펌프 A는 시간당 탱크의 \( 1/5 \)을 채웁니다. 펌프 B는 시간당 \( 1/8 \)을 채웁니다.
함께 채우는 양: 시간당 \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \).
총시간 \( t = \dfrac{40}{13} \) 시간이며, 이는 \( 3\dfrac{1}{13} \) 시간입니다.
분으로 환산: \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4.6 \) 분으로, 5분으로 반올림됩니다. 총시간은 3시간 5분입니다.
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직각삼각형의 한 변(밑변)이 18 cm이고 넓이가 216 제곱 cm입니다. 이 삼각형의 둘레를 구하시오.
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넓이 = \( \dfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} \). 주어진 넓이 = 216이고 한 변 \( a = 18 \):
\[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{cm} \]피타고라스 정리를 사용하여 빗변 \( c \)를 구합니다:
\[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{cm} \]둘레 = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{cm} \).
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53개의 변을 가진 다각형의 내각 크기의 합은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
내각의 합 공식은 \( 180(n - 2) \)입니다. \( n = 53 \)일 때:
\[ \text{합} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \] -
잭(Jack)은 사라(Sarah)보다 키가 크지만 말리카(Malika)와 타니아(Tania) 둘 다보다는 작습니다. 말리카는 타니아보다 작습니다. 나타샤(Natasha)는 사라보다 작습니다. 가장 작은 사람은 누구입니까?
단계별 해답 보기
조건에 따르면: 나타샤 < 사라 < 잭. 잭 < 말리카 < 타니아.
이 크기들을 결합하면 연속된 순서가 나옵니다: 나타샤 < 사라 < 잭 < 말리카 < 타니아. 나타샤가 가장 작습니다.
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넓이가 800 제곱 피트인 직각이등변삼각형의 높이(두 변 중 하나)와 빗변의 길이는 각각 얼마입니까?
단계별 해답 보기
두 변을 모두 \( x \)라고 합시다. 넓이 = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{ft} \).
피타고라스 정리를 이용한 빗변 \( h \): \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).
\[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \text{ft} \] -
한 변의 길이가 20미터인 정사각형 내부에 내접하는 원의 둘레를 구하시오.
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내접원의 지름은 정사각형의 한 변의 길이(20 m)와 같으므로, 반지름 \( r = 10\ \text{m} \)입니다.
둘레 \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8\ \text{m} \).
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두 서로 다른 학교(A와 B)의 학생 수가 같습니다. 학교 A의 남학생과 학교 B의 남학생의 비는 2:1이고, 학교 A의 여학생과 학교 B의 여학생의 비는 4:5입니다. 학교 A의 남학생과 여학생의 비를 구하시오.
단계별 해답 보기
B의 남학생을 \( x \)라고 하면 A의 남학생은 \( 2x \)입니다. B의 여학생을 \( 5y \)라고 하면 A의 여학생은 \( 4y \)입니다.
총학생 수가 같습니다: \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).
학교 A의 남학생 대 여학생의 비: \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). 비는 1:2입니다.
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어느 학급에서 남학생과 여학생의 비는 5:6입니다. 총학생 수가 66명일 때, 학급의 여학생은 몇 명입니까?
단계별 해답 보기
남학생 = \( 5x \), 여학생 = \( 6x \)라고 합시다. 총학생 수 = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).
여학생 수 = \( 6x = 6(6) = 36 \).
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가방에 빨간색 공 5개, 초록색 공 3개, 파란색 공 2개가 들어 있습니다. 가방에서 공을 무작위로 하나 뽑을 때, 그 공이 빨간색이거나 파란색일 확률은 얼마입니까?
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총 공의 개수 = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). 빨간색 또는 파란색 공의 개수 = \( 5 + 2 = 7 \).
확률 \( = \dfrac{7}{10} \).
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사다리가 벽에 기대어 있습니다. 사다리의 밑부분은 벽으로부터 6미터 떨어져 있고, 사다리는 8미터 높이에 닿아 있습니다. 사다리의 길이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
벽, 바닥, 사다리는 직각삼각형을 이룹니다. 사다리의 길이 \( L \)은 빗변입니다:
\[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{m} \] -
재킷의 가격이 \( \$80 \)에서 \( \$100 \)로 올랐습니다. 백분율 인상 폭은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
인상액 = \( \$100 - \$80 = \$20 \).
백분율 인상 폭 = \( \left( \dfrac{\text{인상액}}{\text{원래 가격}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).
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조(Joe)는 일정 거리를 시속 45마일의 속력으로 운전했습니다. 그 후 같은 거리를 시속 55마일의 속력으로 운전했습니다. 전체 여행의 평균 속력은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
거리를 \( d \)라고 합시다. 총거리 = \( 2d \). 총시간 = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).
공통분모는 495입니다: \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).
평균 속력 = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49.5\ \text{마일/시} \).
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두 공 A와 B가 원형 트랙을 따라 회전합니다. 공 A는 26분 동안 2번 온전한 회전을 하고, 공 B는 35분 동안 5번 온전한 회전을 합니다. 두 공이 지금 같은 지점에서 회전을 시작한다면, 언제 다시 같은 출발점에 있게 됩니까?
단계별 해답 보기
A의 한 바퀴 회전 시간 = \( 26 / 2 = 13 \)분. B의 회전 시간 = \( 35 / 5 = 7 \)분.
다시 만나는 시간은 13과 7의 최소공배수(LCM)이며, \( 13 \times 7 = 91 \)분입니다.
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네 수 \( x , y , z \) 및 \( w \)의 평균이 25입니다. \( x , y \) 및 \( z \)의 평균은 27입니다. \( w \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
4개 수의 합: \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).
처음 3개 수의 합: \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).
따라서 \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).
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대니(Dany)는 각각 $0.25짜리 카드 몇 장과 각각 $0.15짜리 카드 몇 장을 포함하여 총 20장의 게임 카드를 샀습니다. 대니가 이 카드들을 사는 데 $4.20를 썼다면, 각 종류의 카드를 몇 장씩 샀습니까?
단계별 해답 보기
\( X \) = $0.25 카드, \( Y \) = $0.15 카드라고 합시다.
\[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0.25X + 0.15Y = 4.20 \implies 25X + 15Y = 420 \]\( Y \)를 대입합니다: \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).
따라서 \( Y = 8 \)입니다. 그는 $0.25짜리 카드 12장과 $0.15짜리 카드 8장을 샀습니다.
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공정한 6면체 주사위를 한 번 던집니다. 나온 숫자가 2보다 큰 짝수일 확률은 얼마입니까?
단계별 해답 보기
가능한 결과: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2보다 큰 짝수: 4와 6.
확률 = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
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원통형 용기의 반지름이 4 cm이고 높이가 10 cm입니다. 이 용기의 부피는 얼마입니까? (\( \pi \approx 3.14 \) 사용)
단계별 해답 보기
공식: \( V = \pi r^2 h \).
\[ V = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4\ \text{cm}^3 \]
단계별 해답 보기
일정한 비율로 물이 채워지므로 높이는 선형적으로 증가해야 합니다. 감소하는 선이나 일정한 평평한 선을 보여주는 그래프는 틀렸습니다. 높이가 꾸준히 증가하는 왼쪽 아래 그래프가 시나리오를 올바르게 나타냅니다.
단계별 해답 보기
집으로부터의 거리는 먼저 증가하고(멀어짐), 평평하게 유지되고(쇼핑/휴식), 다시 0으로 감소해야 합니다(집으로 돌아옴). 왼쪽 아래 그래프만이 이 정확한 궤적을 보여줍니다.
단계별 해답 보기
왼쪽 직육면체 부피 = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{cm}^3 \). 이 물은 가운데 직육면체와 원통에 나누어 담깁니다.
가운데 직육면체 부피 = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). 원통 부피 = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).
합계: \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3.14} \approx 7.2\ \text{cm} \).
단계별 해답 보기
정사각형 둘레 = 100이므로 한 변의 길이 = 25 cm입니다. 총넓이 = 625 cm²입니다.
삼각형 MNC는 빗변이 MN = 5인 직각이등변삼각형입니다. 피타고라스 정리에 의해: \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). \( MC = NC \)이므로 \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12.5 \)입니다.
삼각형의 넓이 = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12.5) = 6.25\ \text{cm}^2 \).
오각형의 넓이 = \( 625 - 6.25 = 618.75\ \text{cm}^2 \).