이 페이지에서는 상세한 단계별 해답과 명확한 설명이 포함된 8학년 이차 방정식 활용 문제 모음을 제공합니다. 각 질문 아래에 숨겨진 해답을 펼쳐 실생활 시나리오를 수학적 모델로 변환하는 데 필요한 대수적 사고 과정을 확인해 보세요.
이 페이지의 문제는 학생들이 다음과 같은 이차 방정식의 핵심 응용을 마스터하는 데 도움을 줍니다:
연속하는 두 정수는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다:
\[ x \quad \text{와} \quad x + 1 \]두 수의 곱이 56과 같습니다:
\[ x(x + 1) = 56 \]방정식을 풀어서 두 수 \( x \)와 \( x + 1 \)을 찾습니다. 위 방정식을 전개하여 표준형으로 쓰면 다음과 같습니다:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]해: \( x = 7 \) 또는 \( x = -8 \).
문제에서 숫자가 반드시 양수여야 한다고 했으므로 \( x = -8 \)은 유효하지 않습니다. 따라서 \( x = 7 \)입니다.
연속하는 두 양의 정수는 7과 8입니다(\( 7 + 1 = 8 \)이므로).
연속하는 두 정수는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다:
\[ x \quad \text{와} \quad x + 1 \]제곱의 합이 145와 같습니다:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]전개하여 동류항을 묶은 뒤 표준형으로 씁니다:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]방정식을 간단히 하기 위해 모든 항을 2로 나눕니다:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]해: \( x = -9 \) 또는 \( x = 8 \).
문제에서 양의 정수를 지정했으므로, \( x = 8 \)만 유효합니다.
연속하는 두 양의 수는 8과 9입니다.
직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]전개하고 동류항을 묶습니다:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]양에서 42를 빼어 표준형으로 다시 씁니다:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]해: \( x = -8 \) 및 \( x = 5 \).
만약 \( x = -8 \)이라면 너비(\( x+1 \))가 -7이 되어 물리적으로 불가능합니다. 유효한 양의 길이와 너비를 주는 값은 \( x = 5 \)뿐입니다.
치수를 계산합니다:
둘레는 \( 2 \times \text{길이} + 2 \times \text{너비} \)입니다:
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]정원의 둘레는 26입니다.
짧은 변의 길이를 \( y \)라고 합시다. 그러면 긴 변은 다음과 같습니다:
\[ y + 3 \]빗변은 긴 변보다 3 cm 더 깁니다:
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]피타고라스 정리(\( a^2 + b^2 = c^2 \))를 이용합니다:
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]제곱을 전개하고 간소화합니다:
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]표준 이차 방정식을 만들기 위해 양변에서 \( y^2 + 12y + 36 \)을 뺍니다:
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]해: \( y = 9 \) 또는 \( y = -3 \).
길이는 양수여야 하므로 \( y = 9 \)만 유효합니다.
빗변의 길이는 \( y + 6 \)입니다:
\[ 9 + 6 = 15 \text{ cm} \]\( h = 80 \)일 때 물체는 지상 80피트에 있으므로, 방정식에 80을 대입합니다:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]양변에서 80을 빼어 표준형으로 다시 씁니다:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]간소화하기 위해 전체 방정식을 -16으로 나눕니다:
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]해: \( t = 1 \)초 및 \( t = 3 \)초.
설명: 물체는 올라가는 길에 \( t = 1 \)초일 때 80피트에 도달하고, 꼭짓점에 도달한 뒤 내려오는 길에 \( t = 3 \)초일 때 다시 80피트를 지나치게 됩니다.
길이를 \( L \), 너비를 \( W \)라고 합시다. 넓이에 따르면:
\[ L \times W = 96 \]둘레가 40이므로 다음이 성립합니다:
\[ 2L + 2W = 40 \]2로 나누고 \( L \)에 대해 풉니다:
\[ L + W = 20 \implies L = 20 - W \]\( L \)에 대한 이 식을 넓이 방정식에 대입합니다:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]전개하여 표준 이차 형식으로 정리합니다:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]해: \( W = 8 \) 또는 \( W = 12 \).
이제 해당하는 길이를 찾습니다:
관례상 길이는 일반적으로 더 긴 변입니다. 따라서 치수는 너비 = 8 m 및 길이 = 12 m입니다.
밑변을 \( b \)라고 합시다. 그러면 높이는 \( b + 3 \)입니다. 삼각형의 넓이 공식(\( A = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} \))을 사용합니다:
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]분수를 없애기 위해 양쪽에 2를 곱합니다:
\[ 108 = b(b + 3) \]전개하고 표준 이차 방정식으로 다시 씁니다:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]해: \( b = -12 \) 또는 \( b = 9 \).
밑변의 길이는 양수여야 하므로 \( b = 9 \)입니다.
높이는 \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \)입니다.
밑변은 9피트이고 높이는 12피트입니다.
세 개의 연속하는 양의 정수를 \( x \), \( x + 1 \), \( x + 2 \)라고 합시다.
첫 번째 수와 세 번째 수의 곱은 다음과 같습니다:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]두 번째 정수의 제곱보다 1만큼 작은 값은 다음과 같습니다:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]두 대수식이 모두 \( x^2 + 2x \)로 간단해진다는 점에 유의하세요. 이는 다음 방정식을 만듭니다:
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]이는 \( 0 = 0 \)이 되므로 항등식입니다. 즉, 이 방정식은 모든 실수 \( x \)에 대해 성립합니다.
따라서 세 개의 연속하는 양의 정수로 이루어진 모든 집합이 이 조건을 만족합니다(예: 1, 2, 3 또는 10, 11, 12).
작은 수를 \( x \)라고 합시다. 차가 \( \frac{7}{2} \)이므로, 큰 수는 \( x + \frac{7}{2} \)입니다.
두 수의 곱이 2입니다:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]식을 전개합니다:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]2를 빼서 표준 이차 방정식으로 다시 씁니다:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]분수를 없애기 위해 전체 방정식에 2를 곱합니다:
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]이차 방정식을 인수분해합니다:
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]해: \( x = \frac{1}{2} \) 또는 \( x = -4 \).
문제에서 양수를 요구하므로, 작은 수는 \( x = \frac{1}{2} \)입니다.
큰 수는 \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)입니다.
두 수는 \( \frac{1}{2} \)와 4입니다.
세 연속 정수를 \( x \), \( x + 1 \), \( x + 2 \)라고 합시다.
제곱의 합이 77입니다:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]제곱을 전개합니다:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]동류항을 결합합니다:
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]양변에서 77을 빼어 표준 이차 방정식을 만듭니다:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]간소화하기 위해 전체 방정식을 3으로 나눕니다:
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]인수분해하여 풉니다:
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]해: \( x = -6 \) 또는 \( x = 4 \).
문제가 정수(양수로만 한정되지 않음)를 요구하므로, 유효한 정수 세트가 두 가지 있습니다.