연습 문제
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삼각형 부등식: 삼각형의 두 변의 길이가 20 mm와 13 mm입니다. 다음 중 세 번째 변의 길이로 나타낼 수 없는 것은 무엇입니까?
- 35 mm
- 10 cm
- 20 mm
- 45 mm
힌트: 삼각형의 임의의 두 변의 합은 반드시 세 번째 변보다 커야 합니다.단계별 해답 보기
어떤 삼각형에서든 임의의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 커야 합니다.
길이가 20 mm와 13 mm인 두 변이 주어졌을 때, 그 합은 다음과 같습니다:
- \( 20 + 13 = 33 \text{ mm} \)
따라서 세 번째 변의 길이 \( x \)는 다음을 만족해야 합니다:
- \( x \lt 33 \text{ mm} \)
이제 주어진 보기들을 확인합니다(cm를 mm로 환산하는 것을 기억하세요):
- A) \( 35 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} \) (가능하지 않음)
- B) \( 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} \) (가능하지 않음)
- C) \( 20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm} \) (가능함)
- D) \( 45 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} \) (가능하지 않음)
정답: 35 mm, 10 cm, 45 mm의 길이는 세 번째 변을 나타낼 수 없습니다.
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이등변삼각형의 각: 삼각형 ABC는 이등변삼각형입니다. 각 ABC의 크기를 구하시오.
단계별 해답 보기
어떤 삼각형이든 내각의 합은 \( 180^\circ \)입니다:
- \( 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ \)
삼각형 ABC는 이등변삼각형이므로(변 AB와 AC의 눈금 표시로 나타냄), 밑각의 크기가 같습니다:
- \( \angle ACB = \angle ABC \)
\( \angle ABC = x \)라고 합시다. 그러면:
- \( 72^\circ + 2x = 180^\circ \)
- \( 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \)
- \( x = 54^\circ \)
정답: \( \angle ABC = 54^\circ \)
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정삼각형의 둘레: 정삼각형의 둘레가 210 cm입니다. 이 삼각형의 한 변의 길이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
정삼각형에서는 세 변의 길이가 모두 같습니다. 한 변의 길이를 \( x \)라고 하면 둘레는 다음과 같습니다:
- \( 3x = 210 \)
- \( x = \dfrac{210}{3} \)
- \( x = 70 \text{ cm} \)
정답: 한 변의 길이는 70 cm입니다.
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피타고라스 대수: 아래 그림의 삼각형이 직각삼각형이 되도록 하는 \( x \)를 구하시오.
단계별 해답 보기
피타고라스 정리(\( a^2 + b^2 = c^2 \))를 이용합니다:
- \( (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 \)
- \( 144x^2 + 256x^2 = 100 \)
- \( 400x^2 = 100 \)
- \( x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} \)
양의 제곱근을 취합니다(변의 길이 배율은 양수여야 하므로):
- \( x = \dfrac{1}{2} \)
정답: \( x = 0.5 \)
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좌표 대칭이동: 꼭짓점 (1, 2), (2, -3), (4, -1)로 정의된 삼각형을 x축에 대하여 대칭이동하여 얻은 삼각형의 꼭짓점들은 무엇이 됩니까?
단계별 해답 보기
점 \( (x, y) \)를 x축에 대하여 대칭이동하면 수평 위치는 유지되지만 수직 위치의 부호가 바뀝니다. 규칙은 \( (x, y) \to (x, -y) \)입니다.
각 꼭짓점에 이 규칙을 적용합니다:
- \( (1, 2) \to \) \( (1, -2) \)
- \( (2, -3) \to \) \( (2, 3) \)
- \( (4, -1) \to \) \( (4, 1) \)
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닮음 삼각형: 아래에 제시된 두 삼각형은 닮음입니다. 큰 삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
먼저 피타고라스 정리를 사용하여 작은 직각삼각형의 빗변 \( h \)를 구합니다:
- \( h^2 = 8^2 + 6^2 \)
- \( h^2 = 64 + 36 = 100 \)
- \( h = 10 \)
닮음 삼각형에서 대응하는 변들은 비례합니다. 큰 삼각형의 빗변을 \( H \)라고 합시다. 대응하는 변들의 비는 빗변들의 비와 같습니다:
- \( \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} \)
대각선끼리 곱하여 \( H \)를 풉니다:
- \( 6H = 150 \)
- \( H = \dfrac{150}{6} \)
- \( H = 25 \)
정답: 큰 삼각형의 빗변 길이는 25 단위입니다.
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실생활 응용: 13피트 길이의 사다리가 수직 벽에 기대어 있습니다. 사다리의 가장 낮은 지점은 벽으로부터 4피트 떨어져 있습니다. 사다리가 벽에 닿는 지점의 높이는 얼마입니까? (소수점 첫째 자리까지 반올림하시오.)
단계별 해답 보기
사다리, 벽, 바닥은 직각삼각형을 이루며, 사다리가 빗변(\( c = 13 \))이고 바닥과의 거리가 한 변(\( a = 4 \))이 됩니다. 벽의 높이를 \( x \)라고 합시다.
피타고라스 정리를 이용합니다:
- \( x^2 + 4^2 = 13^2 \)
- \( x^2 + 16 = 169 \)
- \( x^2 = 169 - 16 = 153 \)
- \( x = \sqrt{153} \)
제곱근을 계산합니다:
- \( x \approx 12.369 \)
정답: 사다리는 약 12.4피트 높이에서 벽에 닿습니다.
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특수 직각삼각형: 직각삼각형의 빗변의 길이가 40 cm입니다. 한 각의 크기가 45도입니다. 삼각형의 나머지 두 변의 정확한 길이는 얼마입니까?
단계별 해답 보기
직각삼각형에서 한 각이 \( 45^\circ \)이면 다른 예각도 \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)여야 합니다. 밑각이 같으므로 이 삼각형은 이등변삼각형이며, 이는 두 변의 길이가 정확히 같음을 의미합니다. 각 변의 길이를 \( x \)라고 합시다.
피타고라스 정리를 이용합니다:
- \( x^2 + x^2 = 40^2 \)
- \( 2x^2 = 1600 \)
- \( x^2 = 800 \)
- \( x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} \)
정답: 나머지 두 변 각각의 정확한 길이는 \( 20\sqrt{2} \) cm입니다.
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이등변삼각형의 둘레: 삼각형 ABC는 이등변삼각형입니다. 밑변의 길이는 20미터이고 대응하는 높이는 24미터입니다. ABC의 둘레를 구하시오.
단계별 해답 보기
이등변삼각형의 높이는 밑변을 이등분하여 각각 10미터인 두 개의 똑같은 선분으로 나누고, 두 개의 동일한 직각삼각형을 형성합니다.
피타고라스 정리를 사용하여 빗변에 해당하는 기울어진 변들의 길이 \( x \)(직각삼각형의 빗변)를 구합니다:
- \( x^2 = 24^2 + 10^2 \)
- \( x^2 = 576 + 100 = 676 \)
- \( x = \sqrt{676} = 26 \text{ meters} \)
삼각형의 둘레는 밑변과 두 개의 동일한 기울어진 변들의 합입니다:
- \( \text{Perimeter} = 20 + 26 + 26 = 72 \)
정답: 둘레는 72미터입니다.
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넓이 대수: 삼각형의 넓이가 90 제곱 cm입니다. 밑변이 높이보다 3 cm 더 길 때, 밑변의 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
높이를 \( h \)라고 합시다. 밑변 \( b \)는 \( b = h + 3 \)으로 주어집니다.
넓이 공식 \( A = \dfrac{1}{2} \times b \times h \)를 사용합니다:
- \( 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h \)
분수를 없애기 위해 양쪽에 2를 곱합니다:
- \( 180 = h(h + 3) \)
- \( h^2 + 3h - 180 = 0 \)
이차 방정식을 인수분해합니다:
- \( (h + 15)(h - 12) = 0 \)
높이는 양의 측정값이여야 하므로 \( h = 12 \)입니다.
밑변을 계산합니다:
- \( b = 12 + 3 = 15 \)
정답: 밑변의 길이는 15 cm입니다.
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둘레 대수: 삼각형의 둘레가 74인치입니다. 첫 번째 변의 길이는 두 번째 변 길이의 2배입니다. 세 번째 변은 첫 번째 변보다 4인치 더 깁니다. 각 변의 길이를 구하시오.
단계별 해답 보기
두 번째 변의 길이를 \( x \)라고 합시다. \( x \)를 기반으로 다른 변들을 정의할 수 있습니다:
- 첫 번째 변 = \( 2x \)
- 두 번째 변 = \( x \)
- 세 번째 변 = \( 2x + 4 \)
둘레는 세 변의 길이의 합입니다:
- \( 2x + x + (2x + 4) = 74 \)
- \( 5x + 4 = 74 \)
- \( 5x = 70 \)
- \( x = 14 \)
이제 \( x = 14 \)를 각 변의 식에 대입합니다:
- 첫 번째 변: \( 2(14) = 28 \text{ inches} \)
- 두 번째 변: \( 14 \text{ inches} \)
- 세 번째 변: \( 28 + 4 = 32 \text{ inches} \)
정답: 각 변의 길이는 28인치, 14인치, 32인치입니다.
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좌표 넓이: 직선 \( y = -4 \), \( x = 1 \), \( y = -2x + 8 \)로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
삼각형의 꼭짓점들은 이 세 직선이 만나는 점들입니다. 점 A, B, C를 찾아봅시다.
점 A 찾기 (\( x = 1 \)과 \( y = -2x + 8 \)의 교점):
- 방정식에 \( x = 1 \) 대입: \( y = -2(1) + 8 = 6 \)
- A = (1, 6)
점 C 찾기 (\( y = -4 \)와 \( y = -2x + 8 \)의 교점):
- 방정식에 \( y = -4 \) 대입: \( -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 \)
- C = (6, -4)
점 D 찾기 (\( x = 1 \)과 \( y = -4 \)의 교점):
- D = (1, -4)
직선 \( x = 1 \)(수직)과 \( y = -4 \)(수평)가 서로 수직이므로, 이것은 직각삼각형입니다. 밑변과 높이는 직선 형태의 수직 및 수평 거리입니다:
- 높이 (AB) = \( y = 6 \)에서 \( y = -4 \)까지의 수직 거리 = \( |6 - (-4)| = 10 \)
- 밑변 (BC) = \( x = 1 \)에서 \( x = 6 \)까지의 수평 거리 = \( |6 - 1| = 5 \)
넓이 계산:
- \( \text{Area} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 \)
정답: 삼각형의 넓이는 25 제곱 단위입니다.
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거리 공식: 꼭짓점 A(-1,6), B(2,6), C(2,2)를 가진 삼각형이 직각삼각형임을 보이고 그 넓이를 구하시오.
단계별 해답 보기
거리 공식 \( d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)을 사용하여 각 변의 제곱 길이를 구합니다:
- \( AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \)
- \( BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 \)
- \( CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
피타고라스 정리(\( a^2 + b^2 = c^2 \))가 성립하는지 확인합니다:
- \( AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 \)
- \( AB^2 + BC^2 = CA^2 \) (25 = 25)이므로, 이 삼각형은 변 CA가 빗변인 직각삼각형입니다.
직각삼각형이므로 AB와 BC가 밑변과 높이가 됩니다. 변의 길이는 \( AB = \sqrt{9} = 3 \)이고 \( BC = \sqrt{16} = 4 \)입니다.
넓이 계산:
- \( \text{Area} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \)
정답: 이 삼각형은 넓이가 6 제곱 단위인 직각삼각형입니다.