자연 현상, 공학 시스템 및 기타 여러 상황을 모델링하는 데 미분 방정식이 널리 활용되는 예제들을 살펴봅니다.
활용 1: 지수 성장 - 인구
시간 \( t \)에 따라 증가하는 양 \( P(t) \)가 있고, 그 증가율이 그 양 \( P \) 자체에 비례한다고 가정합니다:
\[ \frac{dP}{dt} = kP \]여기서 \( \frac{dP}{dt} \)는 \( P \)의 첫 번째 도함수이고, \( k > 0 \)이며, \( t \)는 시간입니다.
위의 1계 미분 방정식의 해는 다음과 같습니다:
\[ P(t) = A e^{kt} \]여기서 \( A \)는 0이 아닌 상수입니다.
\( t = 0 \)일 때 \( P = P_0 \)이라면:
\[ P_0 = A e^0 \]이로부터 \( A = P_0 \)임을 얻습니다. 최종 해의 형태는 다음과 같습니다:
\( P_0 \)가 양수이고 \( k \)가 양수라고 가정하면, \( P(t) \)는 증가하는 지수함수입니다. \( \frac{dP}{dt} = kP \)는 지수 성장 모델이라고도 부릅니다.
활용 2: 지수 감소 - 방사성 물질
시간 \( t \)에 따라 감소하는 물질의 양 \( M(t) \)가 있고, 그 감소율이 양 \( M \)에 비례한다고 가정합니다:
\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]여기서 \( \frac{dM}{dt} \)는 \( M \)의 첫 번째 도함수이고, \( k > 0 \)이며, \( t \)는 시간입니다.
위의 1계 미분 방정식을 풀면 다음을 얻습니다:
\[ M(t) = A e^{-kt} \]여기서 \( A \)는 0이 아닌 상수입니다.
\( t = 0 \)일 때 \( M = M_0 \)이라고 가정하면:
\[ M_0 = A e^0 \]이로부터 \( A = M_0 \)을 얻습니다. 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\( M_0 \)가 양수이고 \( k \)가 양수라고 가정하면, \( M(t) \)는 감소하는 지수함수입니다. \( \frac{dM}{dt} = -kM \)은 지수 감소 모델이라고도 부릅니다.
활용 3: 낙하하는 물체
시간 \( t = 0 \)일 때 물체가 어떤 높이에서 떨어집니다. 시간 \( t \)에서의 물체의 높이를 \( h(t) \), 가속도를 \( a(t) \), 속도를 \( v(t) \)라 할 때, \( a \), \( v \), \( h \) 사이의 관계는 다음과 같습니다:
\[ a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt} \]낙하하는 물체의 경우 \( a(t) \)는 일정하며 \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \)입니다.
위의 미분 방정식들을 결합하면 다음 방정식을 쉽게 유도할 수 있습니다:
\[ \frac{d^2h}{dt^2} = g \]위 방정식의 양변을 적분하여 다음을 얻습니다:
\[ \frac{dh}{dt} = gt + v_0 \]한 번 더 적분합니다:
위 방정식은 초기 속도 \( v_0 \)로 초기 높이 \( h_0 \)에서 낙하하는 물체의 높이를 시간에 대한 함수로 나타냅니다.
활용 4: 뉴턴의 냉각 법칙
주어진 환경에 있는 물체의 온도 변화를 수학적으로 설명하는 모델입니다. 이 법칙에 따르면 온도 변화율(시간에 대한)은 물체의 온도 \( T \)와 주변 환경의 온도 \( T_e \) 사이의 차이에 비례합니다:
\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \]\( x = T - T_e \)라 두면 \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \)가 됩니다.
위의 변수 치환을 사용하면 미분 방정식은 다음과 같이 바뀝니다:
\[ \frac{dx}{dt} = -kx \]위 미분 방정식의 해는 다음과 같습니다:
\[ x = A e^{-kt} \]\( x \)를 \( T - T_e \)로 바꿉니다:
\[ T - T_e = A e^{-kt} \]\( t = 0 \)일 때 온도 \( T = T_0 \)라고 가정합니다:
\[ T_0 - T_e = A e^0 \]이로부터 \( A = T_0 - T_e \)를 얻습니다.
\( T(t) \)에 대한 최종 표현식은 다음과 같습니다:
이 마지막 표현식은 물체의 온도 \( T \)가 시간에 따라 어떻게 변하는지 보여줍니다.
활용 5: RL 회로
위 그림에 나타난 RL(저항 R과 인덕터 L) 회로를 고려해 봅시다. \( t = 0 \)일 때 스위치가 닫히고 회로에 전류가 흐릅니다. 전기 법칙에 따르면 저항 \( R \)에 걸리는 전압은 \( R i \)와 같고, 인덕터 \( L \)에 걸리는 전압은 \( L \frac{di}{dt} \)로 주어집니다(여기서 \( i \)는 전류입니다). 또 다른 법칙은 회로의 모든 전압을 다음과 같이 연관시키는 방정식을 줍니다:
\[ L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{여기서 } E \text{는 일정한 전압} \]다음과 같이 쓸 수 있는 위의 미분 방정식을 풀어봅시다:
\[ L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1 \]이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ -\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt \]양변을 적분합니다:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{는 적분 상수} \]\( t = 0 \)일 때(스위치가 닫힐 때) \( i = 0 \)임을 이용하여 상수 \( c \)를 구합니다:
\[ c = -\frac{L}{R} \ln(E) \]해에 \( c \)를 대입합니다:
\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E) \]이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다:
\[ \frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t \]지수 형태로 바꿉니다:
\[ \frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)} \]\( i \)에 대해 풉니다:
회로의 시작 모델은 미분 방정식이며, 이를 풀면 시간에 대한 함수로서 회로 내 전류의 표현식을 얻을 수 있습니다.