이 튜토리얼에서는 적분인수법을 사용하여 1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 공식의 명확한 유도 과정과 함께 완전히 풀이된 예제 및 정답이 포함된 연습 문제를 확인할 수 있습니다.
일반형
1계 선형 미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가집니다:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]여기서 \( P(x) \)와 \( Q(x) \)는 \( x \)에 대한 알려진 함수입니다.
적분인수의 유도
양변에 미지의 함수 \( u(x) \)를 곱합니다:
\[ u(x)\frac{dy}{dx} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x) \]좌변이 곱의 미분 형태가 되기를 원합니다. 곱의 미분법을 사용하면:
\[ \frac{d(uy)}{dx} = y\frac{du}{dx} + u\frac{dy}{dx} \]이 식이 앞선 표현식과 일치하려면 다음 조건을 만족해야 합니다:
\[ y\frac{du}{dx} = uP(x)y \]\( y \)로 나눕니다:
\[ \frac{du}{dx} = uP(x) \]또는
\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = P(x) \]적분합니다:
\[ \ln u = \int P(x)\,dx \]따라서 적분인수는 다음과 같습니다:
적분인수 공식:
\[ u(x) = e^{\int P(x)\,dx} \]
이 인수를 원래 방정식에 곱하면 다음을 얻습니다:
\[ \frac{d(uy)}{dx} = u(x)Q(x) \]양변을 적분합니다:
\[ u(x)y = \int u(x)Q(x)\,dx \]최종적으로:
일반해 공식:
\[ y = \frac{1}{u(x)}\int u(x)Q(x)\,dx \]
풀이가 포함된 예제
단계별 풀이 예제
예제 1
다음을 푸세요:
\[ \frac{dy}{dx} - 2xy = x \]여기서 \( P(x) = -2x \), \( Q(x) = x \)입니다.
\[ u(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] \[ y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2} \]예제 2
\( x > 0 \)에 대하여 푸세요:
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -2 \] \[ u(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \] \[ xy = \int -2x\,dx = -x^2 + C \] \[ y = \frac{C}{x} - x \]예제 3
\[ x\frac{dy}{dx} + y = -x^3,\quad x > 0 \]\( x \)로 나눕니다:
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -x^2 \] \[ u(x) = x \] \[ xy = \int -x^3\,dx = -\frac{x^4}{4} + C \] \[ y = \frac{C}{x} - \frac{x^3}{4} \]연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 미분 방정식을 푸세요:
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = 2x + 5\)
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = x^4\)
정답:
- \( y = 2x + 3 + Ce^{-x} \)
- \( y = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 + Ce^{-x} \)
추가 참고 자료
팁: 적분인수법은 미적분학에서 매우 중요하며 물리학, 공학, 응용수학에서 빈번하게 나타납니다.