미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수 하나 이상을 포함하는 방정식입니다. \( y = f(x) \)인 경우, \( y' \), \( y'' \) 또는 그 이상의 고차 도함수와 같은 표현이 방정식에 나타날 수 있습니다.
미분 방정식의 차수
미분 방정식의 차수는 방정식에 나타나는 가장 높은 차수의 도함수의 차수로 정의됩니다.
예제: 차수 결정하기
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\( y' = 3x \)
가장 높은 도함수는 \( y' \)입니다. 따라서 이는 1계 미분 방정식입니다. -
\( y'' + y' + y = 3x \)
가장 높은 도함수는 \( y'' \)입니다. 따라서 이는 2계 미분 방정식입니다. -
\( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
가장 높은 도함수는 \( y''' \)입니다. 따라서 이는 3계 미분 방정식입니다.
해 검증하기
함수 \( y = f(x) \)는 \( y \)와 그 도함수를 방정식에 대입했을 때 양변이 같아지면 미분 방정식의 해라고 합니다.
예제: 해 검증하기
\( y = Ce^{4x} + e^{3x} \)가 다음 미분 방정식의 해임을 검증하세요:
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]먼저 도함수를 구합니다:
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]좌변에 \( y \)와 \( y' \)를 대입합니다:
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]이는 미분 방정식의 우변과 일치합니다. 따라서 \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \)는 실제로 해입니다.
간단한 미분 방정식 풀기
미분 방정식의 대부분의 응용은 미지 함수를 찾는 것과 관련이 있습니다.
예제: 일반해 구하기
다음을 푸세요:
\[ y' = 2x \]양변을 적분합니다:
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]다음을 얻습니다:
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]상수를 결합합니다:
\[ y = x^2 + C \]여기서 \( C = C_2 - C_1 \)은 임의의 상수입니다.