미적분학에서 변수분리형 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있는 1계 미분 방정식입니다:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]또는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]변수를 분리하여 \( y \)와 관련된 모든 항은 한쪽에, \( x \)와 관련된 모든 항은 다른쪽에 오도록 할 수 있습니다. 이 방정식들은 대개 직접 적분을 통해 풀 수 있습니다. 이 튜토리얼에서는 그 방법을 설명하고 풀이 예제와 연습 문제를 제공합니다.
변수분리형 미분 방정식을 푸는 방법
- 모든 \( y \) 항이 한쪽에, 모든 \( x \) 항이 다른쪽에 오도록 방정식을 다시 씁니다.
- 양변을 각각의 변수에 대해 적분합니다.
- 가능하다면 \( y \)에 대해 풀어 일반해를 구합니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
풀이 예제
예제 1
다음 미분 방정식을 푸세요:
\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]풀이:
변수를 분리합니다:
\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]양변을 적분합니다:
\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]\( y \)에 대해 풉니다:
\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]이것이 일반해입니다. 미분을 통해 검증할 수 있습니다.
예제 2
다음 미분 방정식을 푸세요:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]풀이:
변수를 분리합니다:
\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]적분합니다:
\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]좌변에 부분적분법을 적용합니다 (\( u = y, dv = \cos y \, dy \)):
\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]이 해는 음함수 형태이며, \( y(x) \)에 대한 간단한 양함수 공식을 얻을 수 없습니다.
연습 문제
연습 문제 및 정답
다음 변수분리형 미분 방정식을 푸세요:
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
정답:
- \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^3 + C}\)
- \(\displaystyle y = -\ln(x^2 + C)\)