이 튜토리얼에서는 다음과 같은 형태의 간단한 1계 미분 방정식을 푸는 방법을 설명합니다:
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]이 방정식들은 양변을 \( x \)에 대해 적분하여 풉니다. 상수 \( C \)는 적분 상수를 나타냅니다.
풀이가 포함된 예제
단계별 풀이 예제
예제 1
다음을 푸세요:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]풀이:
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]미분을 통해 이 해가 원래 방정식을 만족하는지 검증할 수 있습니다.
예제 2
다음을 푸세요:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]풀이:
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]\( u = 2x \)라 하면, \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \)입니다:
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]예제 3
다음을 푸세요:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]풀이:
양변에 \( e^x \)를 곱하고, 간소화하여 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ y' = -e^{3x} \]적분합니다:
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]\( u = 3x \), \( du = 3dx \)라 합니다:
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 방정식을 푸세요:
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
정답:
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)