이 튜토리얼에서는 특성(보조) 방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 상수 계수를 갖는 동차 2계 선형 미분 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 단계별 예제와 연습문제가 포함되어 있습니다.
일반적인 방법
다음 미분 방정식을 고려해 봅시다:
\[ y'' + ay' + by = 0 \]특성(보조) 방정식을 세웁니다:
\[ k^2 + ak + b = 0 \]이 이차 방정식이 서로 다른 두 실근 \( k_1 \neq k_2 \)를 가지면, 일반해는 다음과 같습니다:
일반해 공식:
\[ y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x} \]
여기서 \( A \)와 \( B \)는 임의의 상수입니다.
풀이가 포함된 예제
단계별 풀이 예제
예제 1
다음을 푸세요:
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]풀이:
보조 방정식은 다음과 같습니다:
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]인수분해합니다:
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]근:
\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]일반해:
\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]예제 2 (초기조건 포함)
다음 초기조건을 만족하는 방정식을 푸세요:
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]초기조건:
\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]풀이:
보조 방정식:
\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]근:
\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]일반해:
\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]\( A \)와 \( B \)를 구하기 위해 초기조건을 적용합니다:
1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)
도함수 \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \)를 구합니다:
2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)
연립방정식을 풀면 다음을 얻습니다:
\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]최종 해:
\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 미분 방정식을 푸세요:
- \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
- \( y'' + y' - 2y = 0 \), (조건: \( y(0) = 2 \), \( y'(0) = 0 \))
정답:
- \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
- \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)