이 튜토리얼에서는 보조방정식이 두 개의 같고 실수인 해를 가질 때 2계 미분 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 상세한 풀이가 포함된 단계별 예제가 포함되어 있습니다.
일반적인 방법
상수 계수를 갖는 2계 미분 방정식을 고려해 봅시다:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]보조방정식은 다음과 같습니다:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]판별식이 다음을 만족하면:
\[ b^2 - 4c = 0 \]방정식은 두 개의 같고 실수인 해를 가지며, 다음과 같이 주어집니다:
\[ k = -\frac{b}{2} \]이 경우, 미분 방정식의 일반해는 다음과 같습니다:
일반해 공식:
\[ y(x) = A e^{kx} + B x e^{kx} \]
여기서 \( A \)와 \( B \)는 초기조건에 의해 결정되는 상수입니다.
검증
\( y = x e^{kx} \)라고 합시다. 그러면 도함수는 다음과 같습니다:
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]미분 방정식에 대입합니다:
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]묶어서 간소화합니다:
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]\( k = -\frac{b}{2} \)일 때 \( k^2 + b k + c = 0 \)이고 \( 2k + b = 0 \)이므로, 이 해는 미분 방정식을 만족합니다.
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 중근 및 초기값 문제
예제 1
다음을 푸세요:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]풀이:
보조방정식:
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]일반해:
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]여기서 \( A \)와 \( B \)는 상수입니다. 대입을 통해 이 해가 미분 방정식을 만족함을 직접 검증할 수 있습니다.
예제 2
초기조건 \( y(0) = 4 \) 및 \( y'(0) = 0 \)을 만족하는 방정식을 푸세요:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]풀이:
보조방정식:
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]일반해:
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]초기조건을 적용합니다:
\[ y(0) = A = 4 \]\( y'(x) \)를 구하기 위해 미분합니다:
\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]\( y'(0) = 0 \)을 이용합니다:
\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]최종 해:
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]