이 튜토리얼에서는 보조방정식이 서로 다른 두 켤레 복소수 해를 갖는 2계 미분 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 연습을 위한 단계별 예제와 연습문제가 포함되어 있습니다.
소개 및 일반해
2계 미분 방정식을 고려해 봅시다:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]보조방정식은 다음과 같습니다:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]판별식이 \( b^2 - 4c < 0 \)을 만족하면, 이차 방정식은 두 켤레 복소수 해를 가집니다:
\[ k_1 = r + ti, \quad k_2 = r - ti \]미분 방정식의 일반해는 다음과 같습니다:
여기서 \( A \)와 \( B \)는 임의의 상수입니다.
풀이가 포함된 예제
풀이 예제
예제 1
다음 미분 방정식을 푸세요:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]풀이:
보조방정식은 다음과 같습니다:
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]풀면 두 켤레 복소수 해를 얻습니다:
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]따라서 \( r = -\frac{1}{2} \)이고 \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \)입니다. 일반해는 다음과 같습니다:
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]예제 2
초기조건 \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \)을 만족하는 미분 방정식을 푸세요:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]풀이:
보조방정식:
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]복소수 해:
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]일반해:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]초기조건을 적용합니다:
\( y(0) = 1 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = A = 1 \)
도함수 \( y'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right) + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( -\frac{3}{2} A \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2} B \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right) \)
\( x = 0 \)일 때: \( y'(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{3}{2} B = 0 \implies \frac{3}{2} B = \frac{\sqrt{3}}{2} A \implies B = \frac{\sqrt{3}}{3} A \)
\( A = 1 \)이므로, \( B = \frac{\sqrt{3}}{3} \)입니다.
최종 해:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 미분 방정식을 푸세요:
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \)
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \), (조건: \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \))
정답:
- \( y(x) = e^{x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right) \)
- \( y(x) = \cos x \)