함수의 절대 최댓값과 최솟값

\(f'(x_0) = 0\)이고 \(f'(x)\)의 부호가 바뀔 때, \(x_0\)은 국소적(그리고 잠재적으로 절대적) 최댓값 또는 최솟값에 해당할 수 있습니다.

극값은 도함수가 존재하지 않는 곳에서 발생할 수 있습니다.

\([-1, 5/2]\)에서의 \(f(x) = x^3 - 2x^2\)을 고려해 보세요. 국소 극값은 존재하지만, 절대 극값은 양끝점에서 발생합니다:

구간 \([-2 , 3]\)에서 정의된 함수 \( f(x) = - x^2 + 2 x - 2 \)의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.

예제 4의 풀이

1단계: 일차 도함수 구하기
함수의 절대 최댓값과 최솟값을 구하기 위해, 먼저 \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\)의 일차 도함수를 계산합니다:
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

2단계: 임계점 결정하기
임계점을 찾기 위해 도함수를 0으로 놓습니다:
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
일차 도함수는 구간 \([-2, 3]\)의 모든 \(x\)에 대해 정의되며, \(x = 1\)은 그 구간 내에 포함되므로 유효한 임계점입니다.

3단계: 양끝점과 임계점에서 함수 값 평가하기
이제 양끝점과 임계점 \(x = 1\)에서 원래 함수의 값을 평가합니다:
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

결론:
- 절대 최댓값은 \(f(1) = -1\)이며, \(x = 1\)에서 발생합니다.
- 절대 최솟값은 \(f(-2) = -10\)이며, \(x = -2\)에서 발생합니다.

아래 그래프는 임계점과 양끝점을 보여주며, 절대 최솟값과 최댓값 값을 강조하여 함수를 나타냅니다:

닫힌 구간 \( [-1, 1] \)에서 함수 \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \)의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.

예제 5의 풀이

1단계: 일차 도함수 구하기

임계점을 찾기 위해 함수를 미분합니다:

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

2단계: \( f'(x) = 0 \)을 풀어 임계점 찾기

도함수를 0으로 놓습니다:

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

해는 \( x = 0 \), \( x = 1 \), 그리고 \( x = -2 \)입니다. 하지만 구간 \( [-1, 1] \) 내에 포함되는 것은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)뿐입니다. 따라서 정의역 내의 임계점은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)입니다.

3단계: 양끝점과 임계점에서 함수 값 평가하기

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

4단계: 절대 최댓값과 최솟값 식별하기

• 절대 최댓값: \( x = 0 \)일 때 \( f(0) = 0 \)
• 절대 최솟값: \( x = -1 \)일 때 \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \)

임계점, 양끝점, 그리고 절대 최댓값과 최솟값의 위치를 보여주는 함수 \( f(x) \)의 그래프가 아래에 나와 있습니다.

닫힌 구간 \( [0.5 , 2] \)에서 함수 \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \)의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.

예제 6의 풀이

1단계: 일차 도함수 구하기

곱의 미분법을 사용하여 미분합니다: \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

2단계: 임계점 구하기

일차 도함수를 0으로 놓습니다: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \]

풀이:

• \( x = 0 \) (정의역에 포함되지 않으므로 제외)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

\( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)만 구간 \( [0.5 , 2] \) 내에 포함되므로, 이것이 정의역 내의 유일한 임계점입니다.

3단계: 양끝점과 임계점에서 함수 값 평가하기

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

최종 정답

• 절대 최댓값: \( x = 2 \)일 때 \( \boxed{1.772} \)
• 절대 최솟값: \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)일 때 \( \boxed{-1.1839} \)

닫힌 구간 \([-1.1 , 4]\)에서 함수 \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \)의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.

예제 7의 풀이

1단계: 함수를 다시 쓰고 미분하기

항등식 \( |u| = \sqrt{u^2} \)을 사용하여 함수를 다시 씁니다:

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

이제 미분합니다:

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

2단계: 임계점 구하기

분모가 0이 될 때 도함수가 정의되지 않습니다:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) 및 \( x = 3 \)

\( f'(x) = 0 \)이 되는 곳을 찾기 위해 풀이합니다:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (식 1)

경우 1: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

그러면 \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \)이 되고, 식 1은 다음과 같이 됩니다:

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

해: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

경우 2: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

그러면 \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \)이 되고, 식 1은 다음과 같이 됩니다:

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

해: \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

임계점 검증

• \( x = -1 \), \( x = 3 \): 도함수 미정의 — 임계점.
• \( x = \dfrac{1}{2} \): 분자에 대입 \(\Rightarrow\) 결과는 0 \(\Rightarrow\) 유효한 임계점.
• \( x = \dfrac{3}{2} \): 분자에 대입 \(\Rightarrow\) 0이 아님 \(\Rightarrow\) 임계점이 아님.

결론: \( f(x) \)의 임계점은 \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \), 그리고 \( x = 3 \)입니다.

3단계: 양끝점과 임계점에서 \( f(x) \) 평가하기

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

최종 정답:

• 절대 최댓값: \( x = \dfrac{1}{2} \)일 때 \( f(x) = 3.25 \)
• 절대 최솟값: \( x = 3 \)일 때 \( f(x) = -3 \)

함수의 그래프

아래의 \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) 그래프는 임계점과 구간 \([-1.1 , 4]\)의 양끝점, 그리고 절대 최댓값 및 최솟값 값을 보여줍니다.

구간 \([-3 , 4]\)에서 정의된 함수 \( f \) (\( f(x) = (x-2)^{2/5} \))의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.

예제 8의 풀이

1단계: 함수의 일차 도함수 구하기
주어진 함수:
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

일차 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5} \]

2단계: 임계점 식별하기
도함수 \( f'(x) \)는 분자가 상수로 고정되어 있으므로 0이 되지 않습니다.
하지만 분모가 0이 될 때, 즉 \( x = 2 \)일 때 도함수는 정의되지 않습니다.
따라서 도함수가 정의되지 않기 때문에 \( x = 2 \)는 임계점입니다.

3단계: 양끝점과 임계점에서 f(x) 평가하기
구간 \([-3, 4]\) 내의 주요 지점에서 함수의 값을 계산합니다:

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

4단계: 절대 최댓값과 최솟값 결정하기
위의 평가 결과로부터:

• 절대 최솟값: \( x = 2 \)일 때 0
• 절대 최댓값: \( x = -3 \)일 때 약 1.90

그래프 표현:
구간 \([-3, 4]\)에 걸친 \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)의 그래프는 \( x = 2 \)에서의 임계점과 절대 최솟값 및 최댓값 값을 확인해 줍니다.