그래프의 오목성 정의가 변곡점과 함께 소개됩니다. 도함수와 이계도함수를 사용하여 오목성의 개념을 명확히 이해할 수 있도록 상세한 풀이가 포함된 예제들이 사용됩니다.
오목성의 시각적 예제
예제 1: 아래로 볼록 (Concave Up)
접선의 기울기(도함수)가 증가함을 주목하세요. 아래 그림의 그래프를 아래로 볼록(concave up)이라고 합니다.
그림 1
예제 2: 위로 볼록 (Concave Down)
아래 그래프에서는 접선의 기울기(도함수)가 감소합니다. 이와 같은 그래프를 위로 볼록(concave down)이라고 합니다.
그림 2
오목성의 정의
주어진 구간 \( I \)에서 미분 가능한 함수 \( f \)의 도함수를 \( f' \)이라고 합시다. 함수 \( f \)의 그래프는 다음과 같습니다:
- (i) 구간 \( I \)에서 \( f' \)이 증가할 때, 구간 \( I \)에서 아래로 볼록(concave up), 또는
- (ii) 구간 \( I \)에서 \( f' \)이 감소할 때, 구간 \( I \)에서 위로 볼록(concave down)
이계도함수의 부호는 \( f' \)이 증가하는지 감소하는지 알려줍니다.
정리
주어진 구간 \( I \)에서 함수 \( f \)의 이계도함수를 \( f'' \)이라고 합시다. 함수 \( f \)의 그래프는 다음과 같습니다:
- (i) 구간 \( I \)에서 \( f''(x) > 0 \)이면, 구간 \( I \)에서 아래로 볼록합니다.
- (ii) 구간 \( I \)에서 \( f''(x) < 0 \)이면, 구간 \( I \)에서 위로 볼록합니다.
변곡점의 정의
\( y = f(x) \) 그래프 위의 점 \( P \)는 \( f \)가 점 \( P \)에서 연속이고 그 점을 전후로 그래프의 오목성이 바뀔 때 변곡점이 됩니다. 위의 정리에 비추어 볼 때, 이계도함수의 부호가 바뀌는 지점마다 변곡점이 존재합니다.
풀이 예제
예제 3: 이차함수
문제: 함수 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)의 그래프가 아래로 볼록하거나 위로 볼록하게 되는 최고차항 계수 \( a \)의 값을 구하세요.
풀이:
먼저 함수 \( f \)의 일계도함수와 이계도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f''(x) = 2a \]이제 \( 2a \)와 같은 \( f''(x) \)의 부호를 조사합니다:
- \( a \)가 양수이면, 구간 \((-\infty, +\infty)\)에서 \( f''(x) \)는 양수입니다. 위의 정리에 따라 \( a \)가 양수인 경우 \( f \)의 그래프는 아래로 볼록합니다.
- \( a \)가 음수이면, \( f''(x) = 2a \)가 음수이므로 구간 \((-\infty, +\infty)\)에서 \( f \)의 그래프는 위로 볼록합니다.
두 이차함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \) (\( a = 2 > 0 \)이므로 아래로 볼록) 및 \( y = -x^2 + 3x + 1 \) (\( a = -1 < 0 \)이므로 위로 볼록).
예제 4: 다항함수의 오목성과 변곡점
문제:
a) \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) 그래프의 아래로 볼록 구간, 위로 볼록 구간, 그리고 변곡점이 있다면 그 점들을 구하세요.
b) 그래프 계산기를 사용하여 \( f \)의 그래프를 그리고 a)번의 답을 확인하세요.
풀이:
함수 \( f \)의 처음 두 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \] \[ f''(x) = 12x^2 - 12x \]\( f''(x) \)의 영점을 구합니다:
\[ 12x^2 - 12x = 0 \] \[ 12x(x - 1) = 0 \]두 개의 영점: \( x = 0 \) 및 \( x = 1 \).
\( f'' \)의 부호 조사:
두 영점은 실수 전체 집합을 세 구간으로 나눕니다. 각 구간에서 \( x \)의 값을 선택합니다:
부호 표와 위의 정리를 이용하면:
- 구간 \((-\infty, 0)\)에서 \( f'' \)은 양수 \(\implies\) \( f \)의 그래프는 아래로 볼록합니다.
- 구간 \((0, 1)\)에서 \( f'' \)은 음수 \(\implies\) \( f \)의 그래프는 위로 볼록합니다.
- 구간 \((1, +\infty)\)에서 \( f'' \)은 양수 \(\implies\) \( f \)의 그래프는 아래로 볼록합니다.
이계도함수 \( f'' \)은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)에서 부호가 바뀌므로, \( f \)의 그래프에는 두 개의 변곡점인 \( (0, f(0)) \)과 \( (1, f(1)) \)이 존재합니다.
b) 그래프 확인:
\( f \)의 그래프(파란색)와 \( f'' \)의 그래프(빨간색)가 아래에 나와 있습니다. \( f'' \)이 음수일 때 \( f \)는 위로 볼록하고, \( f'' \)이 양수일 때 \( f \)는 아래로 볼록합니다.
예제 5: 이계도함수 그래프 분석
문제: 함수 \( f \)의 이계도함수 \( f'' \)의 그래프가 아래와 같이 주어져 있습니다. \( f \)가 아래로 볼록한 구간, 위로 볼록한 구간, 그리고 변곡점이 있다면 그 점들을 구하세요.
풀이:
- 구간 \((-\infty, 2)\)에서 \( f'' \)의 그래프는 x축 아래에 있으므로(\( f'' < 0 \)), \( f \)는 위로 볼록합니다.
- 구간 \((2, +\infty)\)에서 \( f'' \)의 그래프는 x축 위에 있으므로(\( f'' > 0 \)), \( f \)는 아래로 볼록합니다.
- \( x = 2 \)에서 \( f'' \)의 부호가 바뀌므로, \( x = 2 \)는 변곡점입니다.
예제 6: 일계도함수 그래프 분석
문제: 함수 \( f \)의 일계도함수 \( f' \)의 그래프가 아래와 같이 주어져 있습니다. \( f \)의 그래프가 아래로 볼록한 구간, 위로 볼록한 구간, 그리고 변곡점이 있다면 그 점들을 구하세요.
풀이:
일계도함수 \( f' \)의 그래프를 사용하여 이계도함수의 부호(\( f'' = (f')' \))를 찾고 오목성을 유추합니다:
- 구간 \((-\infty, -2)\)에서 \( f' \)은 감소하고(\( f'' < 0 \)) \(\implies\) \( f \)의 그래프는 위로 볼록합니다.
- 구간 \((-2, -1)\)에서 \( f' \)은 증가하고(\( f'' > 0 \)) \(\implies\) \( f \)의 그래프는 아래로 볼록합니다.
- 구간 \((-1, 1)\)에서 \( f' \)은 감소하고(\( f'' < 0 \)) \(\implies\) \( f \)의 그래프는 위로 볼록합니다.
- 구간 \((1, +\infty)\)에서 \( f' \)은 증가하고(\( f'' > 0 \)) \(\implies\) \( f \)의 그래프는 아래로 볼록합니다.
\( f \) 그래프의 오목성은 \( x = -2 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \)에서 바뀌므로, 이 점들은 모두 변곡점입니다.