유리함수와 구간별 함수에 중점을 둔 함수의 연속성에 관한 질문과 답변이 수록되어 있습니다. 주어진 지점에서 함수와 그 도함수의 연속성이 논의됩니다. 연속성의 그래프적 의미와 해석도 함께 포함되어 있습니다.
예제 1: 불연속점 식별하기
다음 함수들은 각각 어떤 \( x \) 값에서 불연속인가요?
- a) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- b) \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
- c) \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
- d) \( i(x) = \tan(x) \)
- e) \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
- f) \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
- g) \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
예제 1 풀이
- a) \( x = 0 \)일 때, 함수 \( f(x) \)의 분모가 \( 0 \)이 되므로 \( f(x) \)는 정의되지 않으며 극한값도 갖지 않습니다. 따라서 \( f(x) \)는 \( x = 0 \)에서 불연속입니다.
- b) \( x = 2 \)일 때, 함수 \( g(x) \)의 분모가 \( 0 \)이 되며 정의되지 않고 극한값도 없습니다. 함수 \( g(x) \)는 \( x = 2 \)에서 연속이 아닙니다.
- c) \( h(x) \)의 분모는 \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)로 인수분해됩니다. 분모는 \( x = 1 \)과 \( x = -1 \)에서 0이 되며, 이 지점에서 함수가 정의되지 않고 극한값이 없습니다. 함수 \( h \)는 \( x = 1 \)과 \( x = -1 \)에서 불연속입니다.
- d) \( \tan(x) \)는 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (단, \( k \)는 임의의 정수)를 만족하는 모든 \( x \) 값에서 정의되지 않으므로, 이 값들에서 불연속입니다.
- e) \( j(x) \)의 분모는 \( \cos(x) - 1 = 0 \), 즉 \( x = 2k\pi \) (단, \( k \)는 정수)일 때 0이 됩니다. 이 점들에서 함수는 정의되지 않으며 불연속입니다.
- f) 함수 \( k(x) \)는 분모 \( x^2 + 5 \)가 절대 \( 0 \)이 되지 않는 두 연속함수의 몫입니다. 모든 실수 \( x \)에 대해 정의되며 불연속점이 없습니다.
- g) \( x \ne -4 \)일 때 \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \)입니다. \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \)이므로, 함수 \( l(x) \)는 모든 실수 \( x \)에 대해 연속이며 불연속점이 없습니다.
예제 2: 구간별 연속성을 위한 매개변수 찾기
아래에 주어진 \( f(x) \)가 연속이 되도록 하는 \( b \)의 값을 구하세요:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]예제 2 풀이
\( x > -1 \)일 때, \( f(x) = 2x^2 + b \)는 다항함수이므로 연속입니다.
\( x < -1 \)일 때, \( f(x) = -x^3 \)은 다항함수이므로 연속입니다.
\( x = -1 \)일 때:
\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]좌극한과 우극한을 고려합니다:
\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{\text{--}}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]함수 \( f \)가 \( x = -1 \)에서 연속이 되려면 \( L_2 = L_1 \)이어야 합니다:
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]\( b = -1 \)을 함수에 대입하면 다음과 같습니다:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]\( f \)의 그래프가 아래에 나와 있으며, \( x = -1 \)에서의 연속성을 확인할 수 있습니다:
예제 3: 함수와 도함수의 연속성
아래에 주어진 \( g(x) \)와 그 일계도함수가 모두 연속이 되도록 하는 \( a \)와 \( b \)의 값을 구하세요:
\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]예제 3 풀이
함수 \( g \)의 연속성:
- \( x > 2 \)일 때, \( g(x) = ax^2 + b \)는 연속입니다.
- \( x < 2 \)일 때, \( g(x) = -2x + 2 \)는 연속입니다.
\( x = 2 \)에서의 극한:
\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]\( x = 2 \)에서 연속이 되려면 \( L_1 = L_2 \)여야 합니다:
\[ 4a + b = -2 \]도함수 \( g' \)의 연속성:
- \( x > 2 \)일 때, \( g'(x) = 2ax \)는 연속입니다.
- \( x < 2 \)일 때, \( g'(x) = -2 \)는 연속입니다.
\( x = 2 \)에서의 도함수 극한:
\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g'(x) = -2 \]\( x = 2 \)에서 \( g' \)이 연속이 되려면 \( l_1 = l_2 \)여야 합니다:
\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]\( 4a + b = -2 \)에 \( a = -\frac{1}{2} \)을 대입합니다:
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]따라서 함수는 다음과 같습니다:
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]함수 \( g(x) \)의 그래프가 아래에 그려져 있으며, \( x = 2 \)에서 함수와 그 도함수(기울기) 모두 연속임을 보여줍니다:
