도함수의 정의를 사용하여 \( \cos(x) \)의 도함수 공식을 증명합니다. 또한 연쇄 법칙을 사용하여 합성함수 \( \cos(u(x)) \)의 도함수를 유도하고 풀이된 예제들을 함께 제시합니다.
도함수의 정의를 이용한 증명
함수 \( f \)의 도함수의 정의는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]\( f(x) = \cos x \)라고 합시다. 그러면:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \]삼각함수 항등식을 사용합니다:
\[ \cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h \]이를 대입하여 얻습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \]극한을 분리합니다:
\[ f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} \]표준 극한 결과들을 사용합니다:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \] \[ \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 \]따라서 다음을 얻습니다:
\[ f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x \]
공식:
\[ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \]
cos(x)와 그 도함수의 그래프
\( \cos x \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( \cos x \)의 극댓값과 극솟값은 도함수의 영점(0이 되는 지점)에 대응됩니다.
-and-its-derivative.gif)
합성함수 cos(u(x))의 도함수
연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \]
연쇄 법칙 공식:
\[ \frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\,u'(x) \]
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 코사인 함수 미분하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \cos(2x + 2) \)
- \( g(x) = \cos(\tan x) \)
- \( h(x) = \cos\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \)
풀이:
-
\( u = 2x + 2 \)라고 하면, \( u' = 2 \)입니다.
\[ f'(x) = -2\sin(2x + 2) \] -
\( u = \tan x \)라고 하면, \( u' = \sec^2 x \)입니다.
\[ g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x \] -
\( u = \frac{x^2}{x^2+1} \)라고 합니다. 몫의 미분법을 사용합니다:
\[ u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \] \[ h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right) \]