\( \sin(x) \)의 도함수 증명은 도함수의 정의를 사용하여 제시됩니다. 또한 사인 합성함수의 도함수와 그 풀이 예제도 함께 제공됩니다.
도함수의 정의를 이용한 sin(x) 도함수의 증명
함수 \( f \)의 도함수 \( f' \)의 정의는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]\( f(x) = \sin(x) \)라 하고 \( \sin(x) \)의 도함수를 극한으로 표현합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \]\( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \) 공식을 사용하여 도함수를 다시 씁니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \]\( f'(x) \)를 다음과 같이 변형합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \]함수들의 합의 극한은 각 함수들의 극한의 합과 같다는 정리를 이용합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x) \sin(h)}{h} \]\( h \)와 무관한 항을 밖으로 빼냅니다:
\[ f'(x) = \sin(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \]이제 다음 표준 삼각극한들을 사용합니다:
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(h)}{h} = 1 \](조임 정리를 통해 증명됨)
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \](삼각함수의 극한 계산에서 증명됨)
이 극한들을 \( f'(x) \) 식에 대입합니다:
\[ f'(x) = \sin(x)(0) + \cos(x)(1) = \cos(x) \]sin(x)와 그 도함수의 그래프
\( \sin(x) \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( \sin(x) \)의 모든 극솟값 또는 극댓값은 도함수 \( \cos(x) \)의 영점에 대응됩니다. 또한 \( \sin(x) \)가 증가하는 구간에서는 도함수가 양수이고, 감소하는 구간에서는 도함수가 음수입니다.
-and-its-derivative.gif)
합성함수 sin(u(x))의 도함수
다른 함수 \( u(x) \)에 대한 사인 합성함수를 고려합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다:
\[ \dfrac{d}{dx} \sin(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sin u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \cos u \dfrac{du}{dx} \]풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 사인 함수 미분하기
합성 사인 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \sin(x^2 - x) \)
- \( g(x) = \sin(\sin x) \)
- \( h(x) = \sin \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \)
풀이:
-
\( u(x) = x^2 - x \)라 하면, \( \dfrac{du}{dx} = 2x - 1 \)입니다.
합성 사인 함수에 대한 규칙을 적용합니다: \[ f'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(x^2 - x) \cdot (2x - 1) = (2x - 1) \cos(x^2 - x) \] -
\( u(x) = \sin x \)라 하면, \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \)입니다.
규칙을 적용합니다: \[ g'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cos(\sin x) \] - \( u(x) = \dfrac{1-x}{1+x} \)라 합니다. 몫의 미분법을 사용합니다: \[ \dfrac{du}{dx} = \dfrac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \dfrac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2} \] 규칙을 적용합니다: \[ h'(x) = \cos(u) \dfrac{du}{dx} = \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{(1+x)^2}\right) = -\dfrac{2}{(1+x)^2} \cos \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) \]