함수의 도함수 찾기

미적분학의 다양한 방법과 규칙을 사용하여 다양한 함수의 도함수를 찾아보세요. 자세한 솔루션이 포함된 몇 가지 예가 제시됩니다. 답변이 포함된 더 많은 연습문제는 이 페이지 끝에 있습니다.

예 1: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다. 예 1에 대한 해결책:
함수 f는 두 함수, U = x ² - 5와 V = x ³ - 2 x + 3; 따라서 저희는 다음과 같이 차별화의 제품 규칙을 사용합니다. 여기서 U ' 및 V ' 는 U 및 V는 각각 다음과 같이 제공됩니다. 얻기 위해 대체 확장, 그룹화 및 단순화

예 2: 다음과 같이 주어진 함수 f의 1차 도함수를 계산합니다.
\[ f(x) = (\sqrt x + 2x)(4x^2-1) \]
예 2에 대한 해결책:
이 함수는 함수 U = √x + 2x 및 V = 4x² - 1의 곱으로 간주될 수 있으므로 곱셈 규칙을 사용합니다
\[ f'(x) = U' V + U V' \\ = (\dfrac{1}{2\sqrt x} + 2)(4x^2-1) + (\sqrt x + 2 x)(8x) \] 위 내용을 추가하려면 모든 용어를 공통 분모가 있는 분수로 작성해야 합니다.
\[ f'(x) = \dfrac{(1+2\cdot2\sqrt x)(4x^2-1)+2\sqrt x(8x)(\sqrt x + 2x)}{2\sqrt x} \] 확장하다
\[ f'(x) = \dfrac{4x^2-1+16x^{5/2}-4\sqrt x+16x^2+32x^{5/2}}{2\sqrt x} \] 그룹화하여 다음과 같이 f의 도함수에 대한 최종 결과를 얻습니다.
\[ f'(x) = \dfrac{48x^{5/2}+20x^2-4x^{1/2}-1}{2\sqrt x} \]

예 3: 다음과 같이 주어진 함수 f의 1차 도함수를 계산합니다.

예 3에 대한 해결책:
주어진 함수는 U = x² + 1 및 V = 5x - 3 이라는 두 함수의 비율로 간주될 수 있으며 몫 규칙은 다음과 같이 사용됩니다.
확장하고 그룹화하여 다음과 같이 f'(x)를 얻습니다.

예 4: 다음과 같이 주어진 함수 f의 1차 도함수를 계산합니다.

예 4에 대한 해결책:
함수 f는 두 함수의 몫이므로 몫 규칙을 사용합니다.
분모가 2 sqrt x가 되도록 분자에 모든 항을 쓰세요
f'(x)를 얻으려면 용어를 확장하고 그룹화하세요.

예 5: 다음과 같이 주어진 함수 f의 1차 도함수를 계산합니다.

예 5에 대한 해결책:
위에 주어진 함수 f는 함수 U = 1/x - 3과 V = (x² + 3)/(2x - 1)의 곱으로 간주될 수 있습니다. , 그리고 함수 V는 두 함수 x² + 3과 2x - 1의 몫으로 간주될 수 있습니다. 우리는 f에 대한 곱 규칙과 V에 대한 몫 규칙을 다음과 같이 사용합니다
모든 용어를 공통 분모로 설정
확장하고 그룹화하여 도함수 f'를 얻습니다.

예 6: 다음과 같이 주어진 함수 f의 1차 도함수를 계산합니다.

예 6에 대한 해결책:
위에 주어진 함수 f의 도함수를 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그 중 하나는 함수 f를 함수 U = sqrt x 및 V = (2x - 1)(x³ - x)의 곱으로 간주하고 V도 (2x - 1의 곱으로 간주하는 것입니다. ) 및 (x³ - x) 다음과 같이 f와 V에 곱의 규칙을 적용합니다
모든 용어에 공통분모를 설정
도함수 f'를 얻으려면 용어를 확장하고 그룹화하세요.

예 7: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다.

예 7에 대한 해결책:
주어진 함수는 U⁴ 형식입니다. 여기서 U = x³ + 4입니다. 연쇄 미분 규칙은 다음과 같이 f '를 제공합니다
U'를 계산하고 위의 값을 대체하여 다음과 같이 f'를 얻습니다.

예 8: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다.

예 8에 대한 해결책:
함수 f는 U³ 형식입니다. 여기서 U = (x - 1) / (x + 3)입니다. 다음과 같이 체인 규칙을 적용하여 f '를 얻습니다.
몫의 법칙을 사용하여 U '를 계산하고 대입하여 구합니다.
같은 용어를 확장하고 그룹화하여 도함수 f'에 대한 최종 형식을 얻습니다.

예 9: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다.

예 9에 대한 해결책:
주어진 함수는 U = x³ + 2 x + 1인 sqrt U 형식입니다. U '를 계산하고 연쇄 규칙을 사용하여 다음을 얻습니다.

예 10: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다.

예 10에 대한 해결책:
주어진 함수는 U = x² + 5인 U^3/2 형식입니다. 다음과 같이 체인 규칙을 적용하세요
U'를 계산하고 대입하고 단순화하여 도함수 f'를 얻습니다.

예 11: 다음과 같이 주어진 함수 f의 도함수를 구합니다.

예 11에 대한 해결책:
함수 f는 U = (x + 6)/(x + 5)인 U^1/4 형식입니다. 다음과 같이 체인 규칙을 사용하여 f '를 계산합니다.
U는 두 함수의 몫이므로 몫 규칙을 사용하여 U'를 찾고 대입하여 구하세요.
같은 용어를 확장하고 그룹화하세요
다음과 같이 음의 지수를 양의 지수로 변경하여 f '의 최종 형태를 찾습니다.

연습: 다음 각 함수의 도함수를 찾아보세요.

위 연습에 대한 답변: