미적분학의 접선 문제 해결

먼저 도함수를 사용하여 접선 문제와 해법을 제시합니다.

문제 1

• x축에 평행한 선의 기울기는 0입니다. \( y = x^3 - 3 x \) 그래프에 대한 접선의 기울기는 다음과 같습니다. 1차 도함수 \( y '\).
  \( y ' = 3 x^2 - 3 \)
  
• 이제 \( y ' = 0\)인 \( x \)의 모든 값을 찾습니다.
  \( 3 x^2 - 3 = 0\)
  
• \( x \)에 대한 위 방정식을 풀어 해를 구하세요.
  \( x = - 1 \) 및 \( x = 1\)
  
• 위의 x 값은 접선이 x축과 평행한 지점의 x 좌표입니다. \( y = x^3 - 3 x \)를 사용하여 이 점의 y 좌표를 찾으세요.
  \( x = - 1 \) , \( y = 2\)의 경우
  \( x = 1 \) , \( y = - 2\)의 경우
  
• 접선이 x축과 평행한 지점은 \( (-1 , 2) \) 및 \( (1 , -2) \)입니다. 아래의 접선과 함께 \( y = x^3 - 3 x \) 그래프를 참조하세요.
  
  

문제 2

• \( a \)와 \( b \)를 찾으려면 \( a \)와 \( b \)에서 두 개의 대수 방정식을 결정해야 합니다. 접선점은 \( y = a x^3 + b x \) 그래프와 \( x = 1 \)의 \( y = - 3 x + 4\) 그래프에 있습니다. 따라서 \( x = 1 \)에서 \( y = a x^3 + b x \) 및 \( y = - 3 x + 4\)의 y 좌표는 \( x = 1 \)를 대체한 후 동일합니다. 방정식을 제공합니다
  \( a \; (1)^3 + b \; (1) = - 3(1) + 4 \)
  
• 위 방정식을 \( a \) 및 \( b \)로 단순화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
  \( a + b = 1 \)
  
• 접선의 기울기는 \( -3 \)과 같습니다. 이는 \( y = a x^3 +의 1차 도함수 \( y '\)와도 같습니다. b x \) \( x = 1\)에서
  \( y ' = 3 a x^2 + x = - 3 \) \( x = 1 \)에서.
  
• \( 3 a x^2 + x = - 3 \)에 \( x = 1 \)를 대입하면 \( a \) 및 \( b \에서 두 번째 방정식을 얻을 수 있습니다. )
  \( 3 a + b = -3 \)
  
• 어떤 방법을 사용하여 위에서 얻은 연립방정식 \( a + b = 1 \) 및 \( 3 a + b = - 3 \)을 풀어서 해를 구하세요.
  \( a = - 2 \) 및 \( b = 3 \).
  
• \( a = - 2\) 및 \( b = 3 \) 및 \( y =를 사용하여 \( y = a x^3 + b x \) 그래프를 확인하세요. - 아래 3 x + 4 \).
  
  

문제 3

• 접선의 기울기는 \( y = a \; e^x + b \; x \)의 1차 도함수 \( y ' \)로 제공됩니다. 따라서
  \( y ' = a \; e^x + b \)
  
• \(y\) 그래프에 대한 접선이 수평인 점의 x 좌표를 찾으려면 x(기울기)에 대해 \(y' = 0 \)를 풀어야 합니다. 수평선의 수는 0과 같습니다)
  \( a e^x + b = 0 \)
  
• 위 방정식을 다음과 같이 다시 작성하세요
  \( e^x = - b/a \)
  
• 위 방정식에는 \( -a / b \gt 0 \)에 대한 해가 있습니다. 따라서 \( y = a \; e^x + b \; x \)의 그래프에는 \( - a/b \le 0 \)인 경우 수평 접선이 없습니다.

운동

위 연습에 대한 솔루션