미적분학의 접선 문제 풀기

x축과 평행한 직선의 기울기는 \( 0 \)입니다. \( y = x^3 - 3x \)의 그래프에 대한 접선의 기울기는 첫 번째 도함수 \( y' \)로 주어집니다:

\[ y' = 3x^2 - 3 \]

\( y' = 0 \)이 되는 모든 \( x \)의 값을 찾습니다:

\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \text{ and } x = 1 \]

해당하는 \( y \) 좌표를 찾기 위해 이 \( x \) 좌표들을 원래 방정식 \( y = x^3 - 3x \)에 다시 대입합니다:

• \( x = -1 \)일 때: \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \implies (-1, 2) \)
• \( x = 1 \)일 때: \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \implies (1, -2) \)

접선이 x축과 평행한 점은 \( (-1, 2) \)와 \( (1, -2) \)입니다.

\( a \)와 \( b \)를 구하려면 두 개의 방정식이 필요합니다. 첫째, 접점은 곡선 \( y = ax^3 + bx \)와 \( x = 1 \)에서의 접선 \( y = -3x + 4 \) 위에 모두 존재합니다. 따라서 \( x = 1 \)에서의 \( y \) 좌표가 서로 같습니다:

\[ a(1)^3 + b(1) = -3(1) + 4 \implies a + b = 1 \]

둘째, 접선의 기울기는 \( -3 \)이며, 이는 \( x = 1 \)에서의 \( y = ax^3 + bx \)의 첫 번째 도함수 \( y' \)와 같아야 합니다:

\[ y' = 3ax^2 + b \]

\( x = 1 \)일 때:

\[ 3a(1)^2 + b = -3 \implies 3a + b = -3 \]

연립방정식을 풉니다:

• \( a + b = 1 \)
• \( 3a + b = -3 \)

첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 \( 2a = -4 \implies a = -2 \)가 됩니다. \( a = -2 \)를 \( -2 + b = 1 \)에 대입하면 \( b = 3 \)을 얻습니다.

결론: \( a = -2 \) 및 \( b = 3 \).

접선의 기울기는 \( y = a e^x + bx \)의 첫 번째 도함수 \( y' \)로 주어집니다:

\[ y' = a e^x + b \]

수평 접선을 갖는 점을 찾기 위해 \( y' = 0 \)으로 놓습니다:

\[ a e^x + b = 0 \implies e^x = -\frac{b}{a} \]

지수함수는 모든 실수 \( x \)에 대해 \( e^x > 0 \)이므로, \( -\dfrac{b}{a} \le 0 \)일 때 이 방정식은 실근을 갖지 않습니다. 따라서 \( \dfrac{b}{a} \ge 0 \)이면(즉, \( a \)와 \( b \)의 부호가 같거나 \( b = 0 \)이면) 그래프에 수평 접선이 존재하지 않습니다.