뉴턴의 방법은 첫 번째 도함수를 사용하여 함수의 영점을 찾고 방정식을 수치적으로 푸는 방법의 예입니다. 뉴턴의 방법을 사용하는 방법에 대한 자세한 솔루션의 예가 제시됩니다.
온라인 뉴턴 방법 계산기
결과를 확인하는 데 사용될 수 있습니다.
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뉴턴의 방법
뉴턴 방법 또는 Newton-Raphson 방법은 다음과 같이 함수 f의 영점에 대한 연속 근사를 생성하는 데 사용되는 절차입니다.
\[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
\(n = 0,1,2,3,...\)의 경우
뉴턴의 방법을 사용하려면 함수의 영점에 대한 첫 번째 근사치를 추측한 다음 위의 절차를 사용해야 합니다. 아래에서는 함수의 영점이나 방정식의 해에 대한 좋은 근사치를 찾기 위해 이 방법을 사용하는 방법을 보여줍니다.
뉴턴의 방법은 수학 함수가 포함된 거의 모든 프로그래밍 언어를 사용하여 쉽게 프로그래밍하여 복잡한 방정식을 수치적으로 풀 수 있습니다.
예 1
뉴턴의 방법을 사용하여 다음과 같이 주어진 함수 f의 가장 큰 영점을 근사화합니다.
\[ f(x) = x^2 + 3x + 1 \]
예 1의 해결 방법
주어진 함수는 이차 함수이고 이차 공식을 사용하여 쉽게 영점을 찾을 수 있습니다. 그러나 뉴턴의 방법을 사용하여 찾은 0과 2차 공식을 사용하여 찾은 0을 비교할 수 있도록 이 예부터 시작합니다.
뉴턴의 방법을 사용하여 f의 가장 큰 영점을 찾는 방법은 무엇입니까?
먼저, 0에 가까운 근사치를 찾아야 합니다. 이는 그래픽으로 수행할 수 있습니다. 아래 f의 그래프는 f에 두 개의 0이 있고 둘 다 음수이고 가장 큰 것이 0에 더 가깝다는 것을 명확하게 보여줍니다. 뉴턴의 방법 절차에서는 0을 시작 값으로 사용할 수 있습니다.
이제 1차 도함수 f'를 계산합니다.
\[ f '(x) = 2 x + 3 \]
이제 다음과 같이 절차를 시작합니다.
\( x_0 = 0 \) 으로 둡니다. 이는 가장 큰 0까지의 대략적인 시작 값입니다. 대략적인 0에 가까운 한 다른 값을 사용하기로 결정할 수도 있습니다.
이제 \( n = 0 \)에 대해 위의 절차를 사용하여 다음과 같이 \( x_1 \)를 계산합니다.
\[ x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \]
\( x_0 \)을 값 0으로 대체하고 \( x_1 \)를 계산합니다.
\( x_1 = 0 - \dfrac{f(0)}{f '(0)} \)
대리자
\( x_1 = 0 - \dfrac{(0)^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} \)
단순화하다
\( x_1 = -1/3 \)
이제 다음과 같이 \( x_2 \)를 계산합니다.
\[ x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f '(x_1)} \]
대체 및 단순화
\( x_2 = -1/3 - \dfrac{f(-1/3)}{f '(-1/3)} \approx -0.38095238 \)
이제 다음과 같이 \( x_3 \)을 계산합니다.
\[ x_3 = x_2 -\dfrac{f(x_2)}{f '(x_2)} \]
대체 및 근사치
\( x_3 \approx -0.38196555 \)
찾는 절차를 계속 진행하세요.
\( x_4 \approx -0.38196601 \)
\( x_5 \approx -0.38196601 \)
\( x_5 \)와 \( x_4 \)는 매우 가깝기 때문에 0에 접근하는 데 더 이상 진전을 이룰 수 없으므로 계속할 필요가 없습니다.
\( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)의 영점은 방정식 \( x^2 + 3x + 1 = 0 \)을 풀어 분석적으로 찾을 수 있습니다.
이차 공식을 사용하여 두 개의 실수 0을 얻습니다.
이제 \( x_5 \)를 두 개의 0 중 가장 큰 정확한 값인 \( z_2 = \dfrac{-3 + \sqrt 5}{2} \approx - 0.38196601125... \) 소수점 8자리까지 동일하다고 말할 수 있습니다. 근사치의 정확성을 확인하는 또 다른 방법은 다음을 계산하는 것입니다.
\( f(x_5) \approx 2.8 \; 10^{-9} \)
\( f(x_5) \)는 0에 매우 가깝기 때문에 \( x_5 \approx -0.38196601 \)는 \( f(x) \)의 0 중 하나에 대한 좋은 근사값입니다.
참고: 분석 방법을 사용하여 0을 얻은 예 1부터 시작했으며 이는 비교용이었습니다. 뉴턴의 방법은 예제 2와 3에서 볼 수 있듯이 분석적 해법 없이 방정식을 푸는 데 주로 사용됩니다.
예 2
뉴턴의 방법을 사용하여 다음 방정식을 푼다.
\[ e^{x-3} = - x + 2 \]
예 2에 대한 해결책
위 방정식의 해는 분석적으로 찾을 수 없으므로 뉴턴 방법을 사용합니다.
먼저 우변이 0인 방정식을 작성합니다.
\( e^{x-3} + x - 2 = 0 \)
위 방정식의 해법 는 함수의 0과 같습니다
\[ f(x) = e^{x-3} + x - 2\]
1차 도함수 \( f ' \)를 계산합니다.
\[ f '(x) = e^{x-3} + 1 \]
아래는 \( f \)의 그래프이고 \( f \)의 0이 \( 2 \)에 더 가깝다는 것을 쉽게 볼 수 있으므로 \( x_0 = 2 \)를 시작 값으로 선택합니다.
\( x_0 = 2\)로 두고 \( x_1 \)를 계산합니다.
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
대신하다
\( x_1 = 2 - \dfrac{e^{2 - 3} + 2 - 2}{e^{2 - 3} + 1} \)
계산기를 사용하여 대략적으로
\( x_1 \approx 1.73105857... \)
이제 \( f \)의 0에 가까운 더 많은 값을 계산하는 프로세스를 계속합니다.
\( x_2 = 1.72154537... \)
\( x_3 = 1.72153545... \)
\( x_4 = 1.72153545... \)
이제 \( x_4 \) 및 \( x_3 \)은 소수점 이하 8자리까지 동일하며 계산기의 정확도 한계에 도달했습니다. 마지막 점검으로 계산해 보겠습니다.
\[ f(x_4) \approx -9.3 \; 10^{-9} \]
또한 \( x_4 \)에서 주어진 방정식 \( e^{x-3} = - x + 2 \)의 왼쪽과 오른쪽을 계산하여 매우 가깝다는 것을 보여줍니다.
왼쪽: \( \quad e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540... \)
오른쪽: \( \quad - x_4 + 2 \approx 0.278464550... \)
\( x_4 = 1.72153545 \)는 주어진 방정식의 해에 대한 좋은 근사치라고 말할 수 있습니다.
실시예 3
뉴턴의 방법을 사용하여 \( \sqrt[3] 5 \)를 근사화합니다.
예제 3에 대한 해결책
\( \sqrt[3] 5 \) 방정식의 해는
\( x = \sqrt[3] 5 \)
방정식의 양변을 3승으로 올리세요.
\( x^3 = 5 \)
쓸 수 있는 것
\( x^3 - 5 = 0 \)
\( f(x) = x^3 - 5 \)라고 하자
아래의 \( f \) 그래프는 \( 2 \)에 가까운 0이 있음을 보여주며 시작 값으로 사용할 수 있습니다.
\( f \)의 1차 도함수는 다음과 같이 제공됩니다.
\( f '(x) = 3 x^2 \)
이제 \( x_0 = 2 \)가 \( x_1 \)을 계산하도록 하겠습니다.
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
대체 및 계산
\( x_1 = 2 - \dfrac{f(2)}{f '(2)} = 2 - \dfrac{2^3-5}{3 \; 2^2} = 1.75 \)
우리는 f의 0에 가까운 더 많은 값을 계산합니다.
\( x_2 = 1.71088435... \)
\( x_3 = 1.70997642... \)
\( x_4 = 1.70997594... \)
\( x_5 = 1.70997594... \)
\( 1.70997594 \)는 \( \sqrt[3] 5 \)에 대한 좋은 근사치입니다. 계산기를 사용하여 \( \sqrt[3] 5 \)를 계산하고 계산 결과를 위의 뉴턴 방법을 사용하여 얻은 결과와 비교하세요.
