문제 11 - 20
문제 11: \( a(x + y) = a x + a y \)를 작성하는 데 사용되는 성질은 무엇입니까?
이 대수적 성질은 덧셈에 대한 곱셈의 분배를 보여줍니다.
정답: 분배 법칙 (분배성)
문제 12: \( \frac{8x^3}{2x^{-3}} \)을 간단히 하세요.
계수를 나눕니다: \( 8 / 2 = 4 \).
지수의 몫의 법칙 \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \)을 사용합니다:
\( x^{3 - (-3)} = x^{3 + 3} = x^6 \)
정답: \( 4x^6 \)
문제 13: \( (-a^2b^3)^2(c^2)^0 \)을 간단히 하세요.
먼저, 0이 아닌 모든 밑의 0제곱은 1임을 상기하세요. 따라서 \( (c^2)^0 = 1 \)입니다.
지수를 곱하여 첫 번째 항을 제곱합니다:
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 1 \cdot a^4 \cdot b^6 \)
정답: \( a^4b^6 \)
문제 14: 점 \( (-2, k) \)가 직선 \( -3 x + 3 y = 4 \) 위에 있기 위한 \( k \)의 값은 얼마입니까?
방정식에 \( x = -2 \)와 \( y = k \)를 대입합니다:
\( -3(-2) + 3(k) = 4 \)
\( 6 + 3k = 4 \)
양변에서 6을 뺍니다:
\( 3k = -2 \)
3으로 나눕니다:
정답: \( k = -2/3 \)
문제 15: 연립방정식 \( \{2x+6y=-2; -3x+ay=4\} \)가 해가 없도록 하는 \( a \)의 값은 무엇입니까?
직선들이 평행하여 기울기는 같고 y절편은 다를 때 일차연립방정식은 해가 없습니다.
첫 번째 직선의 기울기를 찾습니다: \( 6y = -2x - 2 \Rightarrow y = -1/3x - 1/3 \) (기울기는 \(-1/3\)).
두 번째 직선의 기울기를 찾습니다: \( ay = 3x + 4 \Rightarrow y = (3/a)x + 4/a \) (기울기는 \(3/a\)).
두 기울기를 서로 같다고 둡니다:
\( -1/3 = 3/a \)
대각선으로 곱하여 \(a\)를 풉니다: \( -a = 9 \Rightarrow a = -9 \).
정답: \( a = -9 \)
문제 16: 순서쌍 \( (x,y) \): (0,-4), (4,-20), (-4,12), (8,-36)에 대한 방정식을 찾으세요.
점 (0, -4)와 (4, -20)을 사용하여 기울기(\(m\))를 먼저 찾습니다:
\( m = \frac{-20 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-16}{4} = -4 \).
y절편(\(b\))은 \(x = 0\)일 때 주어지므로 -4입니다.
\( y = mx + b \)를 사용합니다:
정답: C) \( y = -4x - 4 \)
문제 17: 제시된 직사각형의 넓이를 가장 잘 나타내는 공식은 무엇입니까?
다이어그램은 길이가 \( (x + 1) \)이고 너비가 \( (x - 1) \)인 직사각형을 보여줍니다. 넓이를 구하려면 서로 곱합니다:
\( \text{넓이} = (x + 1)(x - 1) \)
이를 전개하면 합차 공식이 됩니다:
정답: \( \text{넓이} = x^2 - 1 \)
문제 18: 점 \( (1, -1) \)과 \( (3, 5) \)를 지나는 직선은 무엇입니까?
기울기(\(m\))를 찾습니다:
\( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
(1, -1)을 이용한 점-기울기 형태를 사용합니다:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = 3(x - 1) \)
\( y + 1 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 4 \)
일반적으로 제시되는 객관식 형식과 맞추기 위해 전체 방정식에 2를 곱합니다:
정답: \( 2y = 6x - 8 \)
문제 19: 방정식 \( 2|3x - 2| - 3 = 7 \)을 푸세요.
절댓값 식을 분리합니다:
\( 2|3x - 2| = 10 \)
\( |3x - 2| = 5 \)
가능한 두 개의 방정식을 세웁니다:
경우 1: \( 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \)
경우 2: \( 3x - 2 = -5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
정답: 해집합: \( \{ 7/3, -1 \} \)
문제 20: 방정식 \( (1/2) x^2 + mx - 2 = 0 \)에서 \( x \)를 구하세요.
\( a = 1/2 \), \( b = m \), \( c = -2 \)인 이차방정식의 근의 공식 \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)을 사용합니다:
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4(1/2)(-2)}}{2(1/2)} \)
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)
정답: \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)