문제 1
다음 연립방정식을 푸세요:
a) \( \begin{cases} -2(x - 2) + (-y - 3) = 3 \\ 2(x + 3) - 3(y - 2) = 10 \end{cases} \)
b) \( \begin{cases} \dfrac{x - 1}{3} + y = 5 \\ 2(x + 3) - \dfrac{y}{5} = 7 \end{cases} \)
c) \( \begin{cases} (x - 1)^2 + y = -1 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \)
문제 1 풀이 보기
풀이 a: 좌변을 전개합니다: \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (식 I) 및 \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (식 II). (I)과 (II)를 더해 \( x \)를 소거합니다: \( (-2x-y) + (2x-3y) = 2 + (-2) \rightarrow -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). \( y=0 \)을 (I)에 대입합니다: \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). 최종 정답: (-1, 0).
풀이 b: 첫 번째 방정식에 3을, 두 번째 방정식에 5를 곱합니다: \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) 및 \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). (II)에 3을 곱합니다: \( 30x-3y=15 \). (I)과 더합니다: \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). 대입합니다: \( 1+3y=16 \rightarrow 3y=15 \rightarrow y=5 \). 최종 정답: (1, 5).
풀이 c: (II)를 \( y \)에 대해 풉니다: \( 2y = 4x-6 \rightarrow y = 2x-3 \). (I)에 대입합니다: \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-2x+1+2x-3 = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). 따라서 \( x = 1 \) 또는 \( x = -1 \)입니다. \( x=1 \)일 때 \( y=-1 \). \( x=-1 \)일 때 \( y=-5 \). 최종 정답: (1, -1) 및 (-1, -5).
문제 2
다음 대수식을 전개하고 간단히 하세요:
a) \( -(x + 2)(x - 1) + (x - 2)^2 \)
b) \( (x - 2)(x^2 + 3x - 3) - (x - 1)(x + 1) \)
문제 2 풀이 보기
풀이 a: 먼저 곱을 전개합니다: \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) 및 \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). 마이너스 부호를 적용합니다: \( -(x^2+x-2) = -x^2-x+2 \). 결합합니다: \( (-x^2-x+2) + (x^2-4x+4) = -5x+6 \). 최종 정답: -5x+6.
풀이 b: 삼차곱을 전개합니다: \( x(x^2+3x-3) - 2(x^2+3x-3) = x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). 합차 공식을 전개합니다: \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). 결합합니다: \( (x^3+x^2-9x+6) - (x^2-1) = x^3+x^2-9x+6-x^2+1 = x^3-9x+7 \). 최종 정답: x³-9x+7.
문제 3
다음 식을 완전히 인수분해하세요:
a) \( 3x^3 + 6x^2 \)
b) \( (x - 3)(x^2 + 3x + 2) - (x - 3)(x + 1) \)
c) \( 81x^2 - 16y^2 \)
d) \( -6x^2 + 7x - 2 \)
문제 3 풀이 보기
풀이 a: 공통인수(GCF)를 찾습니다: \( 3 \) 및 \( x^2 \). 인수분해된 형태: 3x²(x + 2).
풀이 b: 공통 다항식 \( (x-3) \)을 묶어냅니다: \( (x-3)[(x^2+3x+2) - (x+1)] = (x-3)(x^2+2x+1) \). 완전제곱식 삼항식 \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \)임을 인지하면: (x - 3)(x + 1)².
풀이 c: 합차 공식 \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)를 사용합니다. 여기서 \( a=9x \)이고 \( b=4y \)입니다. 최종 정답: (9x - 4y)(9x + 4y).
풀이 d: -1을 밖으로 빼냅니다: \( -(6x^2-7x+2) \). \( a \cdot c = 12 \)이고 \( b = -7 \)인 AC법을 사용하면 두 수는 -3과 -4입니다. 인수분해하면: -(2x - 1)(3x - 2).
문제 4
이차함수 \( f(x) = -2x^2 - 2x + 4 \)가 주어졌을 때, 다음을 구하세요:
a) 완전제곱식을 이용한 꼭짓점 좌표.
b) x절편(\( f(x)=0 \)인 곳)과 y절편(\( x=0 \)인 곳).
c) 대칭축의 방정식.
d) 그래프를 분석하여 결과를 확인하세요.
문제 4 풀이 보기
풀이 a: x항에서 -2를 묶어냅니다: \( -2(x^2+x)+4 \). 안쪽에 \( (1/2)^2 = 1/4 \)을 더하고 뺍니다: \( -2[(x+1/2)^2 - 1/4] + 4 = -2(x+1/2)^2 + 1/2 + 4 \). 꼭짓점 형태: \( f(x) = -2(x+0.5)^2 + 4.5 \). 꼭짓점: (-0.5, 4.5).
풀이 b: \( y \)-절편: \( f(0) = \mathbf{4} \). \( x \)-절편을 구하려면 \( -2x^2-2x+4=0 \rightarrow -2(x^2+x-2)=0 \rightarrow -2(x+2)(x-1)=0 \)을 풉니다. 절편: x = 1, x = -2.
풀이 c: 대칭축은 꼭짓점을 지나는 수직선 \( x = h \)입니다. 최종 정답: x = -0.5.
문제 5
정비례와 반비례의 원리를 사용하여, 가능한 경우 아래 표에서 누락된 값을 구하세요.
문제 5 풀이 보기
표 a: 비 \( y/x \)를 테스트합니다: \( 1.8/0.3 = 6, 4.2/0.7 = 6 \). 이것은 공식 \( y = 6x \)를 가진 정비례입니다. \( x=0.2 \)일 때, \( y = 6(0.2) = \mathbf{1.2 \)입니다.
표 b: 곱 \( xy \)를 테스트합니다: \( 0.1 \cdot 2 = 0.2, 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \). 이것은 공식 \( xy = 0.2 \)를 가진 반비례입니다. \( x=20 \)일 때, \( y = 0.2/20 = \mathbf{0.01} \)입니다.
표 c: 비와 곱이 일정하지 않습니다. 따라서 누락된 값을 찾기 위한 특정 비례 규칙을 확립할 수 없습니다.
문제 6
제시된 직각삼각형에서 \( x \)의 값, 모든 미지수 변의 길이, 그리고 모든 각의 크기를 구하세요.
문제 6 풀이 보기
피타고라스 정리를 적용합니다: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \)
\( (4x^2 + 4x + 1) + 144 = 16x^2 - 8x + 1 \)
\( 12x^2 - 12x - 144 = 0 \). 12로 나눕니다: \( x^2 - x - 12 = 0 \).
인수분해하면 \( (x-4)(x+3) = 0 \)이 됩니다. 길이는 양수여야 하므로 x = 4입니다.
변의 길이: \( \overline{AB}=2(4)+1=9 \), \( \overline{BC}=12 \), \( \overline{AC}=4(4)-1=15 \).
각의 크기: \( \angle C = \tan^{-1}(9/12) \approx \mathbf{36.87^\circ} \). \( \angle A = 90 - 36.87 = \mathbf{53.13^\circ} \).
문제 7
각 \( \alpha \)는 직각삼각형의 예각이며 사인 값이 \( \sin \alpha = 0.6 \)입니다. \( \cos \alpha \)와 \( \tan \alpha \)의 값을 구하세요.
문제 7 풀이 보기
피타고라스 항등식을 사용합니다: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
주어진 값을 대입합니다: \( (0.6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 0.64 \).
\( \alpha \)는 예각이므로 양의 제곱근을 취합니다: \( \cos \alpha = 0.8 \).
항등식 \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)을 사용합니다:
\( \tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \mathbf{0.75} \).
문제 8
아래 그림에서 선분 BE는 선분 CD와 평행합니다(\( BE \parallel CD \)). 미지수 길이 \( x \)(선분 CD)와 \( y \)(선분 DE)를 계산하세요.
문제 8 풀이 보기
\( BE \parallel CD \)이므로, AA 닮음에 의해 삼각형 \( ABE \)와 \( ACD \)는 닮음입니다(\( \triangle ABE \sim \triangle ACD \)).
x 구하기: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \rightarrow \frac{10}{10+2} = \frac{6}{x} \rightarrow 10x = 72 \rightarrow \mathbf{x = 7.2} \).
y 구하기: \( \frac{AE}{AD} = \frac{EB}{DC} \rightarrow \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \).
\( 6(11+y) = 79.2 \rightarrow 66 + 6y = 79.2 \rightarrow 6y = 13.2 \rightarrow \mathbf{y = 2.2} \).
문제 9
삼각형 ABC에서 변 AB(\( c \))와 변 BC(\( a \))의 길이는 각각 14 cm와 10 cm입니다. 각 C의 크기는 \( 49^\circ \)입니다. 삼각형의 모든 미지수 각과 남은 미지수 변을 구하세요.
문제 9 풀이 보기
사인 법칙을 적용합니다: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
\( \frac{10}{\sin A} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow \sin A = \frac{10 \cdot \sin 49^\circ}{14} \approx 0.539 \).
\( A = \sin^{-1}(0.539) \approx \mathbf{32.62^\circ} \).
각 B 찾기: \( B = 180^\circ - (49^\circ + 32.62^\circ) = \mathbf{98.38^\circ} \).
변 \( b \) 찾기: \( \frac{b}{\sin 98.38^\circ} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow b = \frac{14 \cdot \sin 98.38^\circ}{\sin 49^\circ} \approx \mathbf{18.35 \text{ cm}} \).
문제 10
직선이 점 \( (1, 5) \)를 지나고 y절편이 \( y = 3 \)일 때, 일차방정식 \( Ax + By = 1 \)에서 상수 \( A \)와 \( B \)의 특정 값을 구하세요.
문제 10 풀이 보기
1. y절편은 \( (0, 3) \)입니다. 방정식에 대입합니다: \( A(0) + B(3) = 1 \rightarrow 3B = 1 \rightarrow \mathbf{B = 1/3} \).
2. 직선이 \( (1, 5) \)를 지납니다. \( x=1, y=5, B=1/3 \)을 대입합니다:
\( A(1) + (1/3)(5) = 1 \rightarrow A + 5/3 = 1 \).
\( A = 1 - 5/3 = \mathbf{-2/3} \).
문제 11
한 화학자가 45% 황산 용액 5리터를 만들어야 합니다. 그에게는 20% 용액과 55% 용액이 있습니다. 원하는 농도를 얻으려면 각 용액을 몇 리터씩 섞어야 합니까?
문제 11 풀이 보기
\( x \) = 20% 용액의 부피, \( y \) = 55% 용액의 부피라 하자.
방정식 1 (총 부피): \( x + y = 5 \)
방정식 2 (산 함량): \( 0.20x + 0.55y = 0.45(5) \rightarrow 0.20x + 0.55y = 2.25 \).
식 1에 0.20을 곱합니다: \( 0.20x + 0.20y = 1.0 \).
식 2에서 뺍니다: \( 0.35y = 1.25 \rightarrow \mathbf{y \approx 3.58 \text{ L}} \).
다시 대입합니다: \( x = 5 - 3.58 = \mathbf{1.42 \text{ L}} \).
문제 12
한 가족이 파리에서 프라하까지 1000 km를 정확히 10시간 만에 여행했습니다. 여행의 일부 구간은 평균 속력 80 km/h로 운전했고 나머지 구간은 120 km/h로 운전했습니다. 각 속력으로 운전한 거리를 각각 계산하세요.
문제 12 풀이 보기
\( x \) = 80 km/h로 이동한 거리, \( y \) = 120 km/h로 이동한 거리라 하자.
식 \( \text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}} \)을 사용합니다:
식 1 (총 거리): \( x + y = 1000 \)
식 2 (총 시간): \( \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \).
식 2에 240(최소공배수)을 곱합니다: \( 3x + 2y = 2400 \).
식 1로부터 \( y = 1000 - x \)입니다. 간소화된 식 2에 대입합니다:
\( 3x + 2(1000 - x) = 2400 \rightarrow 3x + 2000 - 2x = 2400 \).
80 km/h로 x = 400 km, 120 km/h로 y = 600 km.
문제 13
삼각형 ABC의 꼭짓점은 \( A(2, 3) \) 및 \( B(-3, 4) \)입니다. 꼭짓점 \( C \)는 수직선 \( x = -1 \) 위의 어딘가에 위치합니다. 삼각형 ABC가 빗변이 \( AC \)인 직각삼각형이 되도록 하는 점 \( C \)의 y좌표를 구하세요.
문제 13 풀이 보기
\( C = (-1, b) \)라 하자. \( AC \)가 빗변이 되려면 직각은 반드시 꼭짓점 \( B \)에 있어야 한다. 피타고라스 정리에 의해: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
거리 제곱 공식: \( d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \).
\( AB^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 25 + 1 = 26 \).
\( BC^2 = (-3 - (-1))^2 + (4 - b)^2 = 4 + (4 - b)^2 \).
\( AC^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - b)^2 = 9 + (3 - b)^2 \).
방정식을 세웁니다: \( 9 + (3 - b)^2 = 26 + 4 + (4 - b)^2 \).
\( 9 + 9 - 6b + b^2 = 30 + 16 - 8b + b^2 \).
\( 18 - 6b = 46 - 8b \rightarrow 2b = 28 \rightarrow \mathbf{b = 14} \). 최종 좌표: (-1, 14).
문제 14
린다의 예산 분석에 따르면 월 예산의 5%는 200입니다. 그 그녀는 총예산의 \( 70\% \)를 주거비와 식비로 지출합니다. 주거비에 식비보다 500을 더 많이 지출한다면, 각각에 지출된 구체적인 금액을 계산하세요.
문제 14 풀이 보기
1. 총예산(\(B\)) 구하기:
예산의 5%가 200이므로 방정식을 세웁니다:
\( 0.05 \cdot B = 200 \)
\( B = \frac{200}{0.05} \)
\( B = \$4,000 \)
2. 주거비(\(h\))와 식비(\(f\))의 합산 총액 결정하기:
이 항목들은 예산의 70%를 차지합니다:
\( h + f = 0.70 \cdot 4000 \)
\( h + f = \$2,800 \) — (식 I)
3. 주거비와 식비의 관계 설정하기:
주거비는 식비보다 500 더 많습니다:
\( h = f + 500 \) — (식 II)
4. 연립방정식 풀기:
식 II를 식 I에 대입합니다:
\( (f + 500) + f = 2800 \)
\( 2f + 500 = 2800 \)
\( 2f = 2300 \)
\( f = \$1,150 \)
5. 주거비 비용 구하기:
\( h = 1150 + 500 \)
\( h = \$1,650 \)
최종 정답: 린다는 주거비에 $1,650, 식비에 $1,150을 지출합니다.
문제 15
선분 CD의 길이가 10 cm로 주어졌을 때, 아래 그림에 나타난 연(kite)의 총넓이를 구하세요.
문제 15 풀이 보기
연 넓이 공식: \( \text{Area} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} \).
직각삼각형 \( DMC \)에서 \( \angle MDC = 45^\circ \)이므로 이등변삼각형이다. \( \overline{DM} = \overline{MC} \).
\( \overline{DM}^2 + \overline{MC}^2 = 10^2 \rightarrow 2\overline{DM}^2 = 100 \rightarrow \overline{DM} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
대각선 1 (\( \overline{BD} \)) = \( 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
대각선 2 (\( \overline{AC} \)) = \( \overline{AM} + \overline{MC} \). \( \overline{AM} = 5\sqrt{2} \cdot \tan(65^\circ) \approx 15.15 \).
\( \overline{AC} = 15.15 + 7.07 = 22.22 \).
넓이: \( \frac{22.22 \cdot 14.14}{2} \approx \mathbf{157.23 \text{ cm}^2} \).
문제 16
직선 \( m \)과 \( n \)이 평행할 때, 다이어그램에 표시된 교각을 바탕으로 직선 \( m \)과 \( r \)이 서로 수직임을 증명하세요.
문제 16 풀이 보기
1. 직선 \( n \) 위의 횡단각을 \( \alpha = 33^\circ \)라 하자. \( m \parallel n \)이므로 직선 \( m \) 위의 동위각 \( \beta \) 역시 \( 33^\circ \)이다.
2. 교차선들에 의해 형성된 삼각형 내에서 각의 합은 \( 180^\circ \)여야 한다. 알려진 각은 \( 89^\circ \)와 \( 34^\circ \)이다. 세 번째 각 \( \theta = 180 - (89 + 34) = \mathbf{57^\circ} \).
3. 직선 \( m \)과 직선 \( r \) 사이의 총 각도는 인접한 두 각 \( \beta \)와 \( \theta \)의 합이다:
\( \text{총 각도} = 33^\circ + 57^\circ = \mathbf{90^\circ} \).
각도가 \( 90^\circ \)이므로 직선 \( m \)과 \( r \)은 수직이다.
문제 17
정사각뿔의 수직 높이 AM을 계산하세요. 부피는 1500 cm³로 주어졌으며, 밑면의 대각선 CE의 길이는 10 cm입니다.
문제 17 풀이 보기
뿔의 부피: \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{밑넓이} \cdot h \).
정사각형 밑면의 한 변을 \( s \)라 하자. 대각선 \( d = s\sqrt{2} \rightarrow 10 = s\sqrt{2} \rightarrow s^2 = 50 \) (밑넓이).
값들을 대입합니다: \( 1500 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \).
\( 4500 = 50h \rightarrow \mathbf{h = 90 \text{ cm}} \).