고등학교 2학년을 위한 대수학 문제와 풀이

처음 두 항에서 2를 묶어냅니다:

$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$

괄호 안에 $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$을 더하고 뺍니다:

$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$

$x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$을 완전제곱식 $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$으로 씁니다:

$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$

$-\dfrac{9}{2} + 4$를 정리합니다:

$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$

포물선과 직선의 교점 좌표는 다음 연립방정식을 풀어 구합니다:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$

첫 번째 방정식에 $y$ 대신 $2x - 2$를 대입합니다:

$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$

이차방정식을 표준형(한쪽 변을 0으로)으로 씁니다:

$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$

이차방정식의 해:

$$ x = 1 \quad \text{and} \quad x = 6 $$

$y$ 좌표를 구합니다:

$x = 1$일 때, $y = 2(1) - 2 = 0$

$x = 6$일 때, $y = 2(6) - 2 = 10$

교점:

$$ (1, 0) \quad \text{and} \quad (6, 10) $$

주어진 방정식:

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$

우변을 전개합니다:

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$

두 다항식이 같으려면 대응하는 계수가 서로 같아야 하므로:

$$ -(k + 7) = 6 $$

$k$에 대해 풉니다:

$$ k = -13 $$

$x$에 관한 항들과 $y$에 관한 항들을 각각 모읍니다:

$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$

$x^2 - 2x$의 제곱을 다음과 같이 완성합니다:

$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$

$y^2 + 4y$의 제곱을 다음과 같이 완성합니다:

$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$

주어진 방정식을 다음과 같이 다시 씁니다:

$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$

원의 방정식을 표준형 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$으로 씁니다:

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$

중심 $(h,k)$와 반지름 $r$을 찾습니다:

$$ x - h = x - 1 \quad \text{이므로} \quad h = 1 $$

$$ y - k = y + 2 \quad \text{이므로} \quad k = -2 $$

$$ r^2 = 4^2 \quad \text{이므로} \quad r = 4 $$

따라서:

$$ \text{중심: } (1, -2), \quad \text{반지름 = } 4 $$

주어진 이차방정식:

$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$

판별식을 계산합니다:

$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식이 0보다 커야 합니다:

$$ 25 + 8k > 0 $$

$k$에 대해 풉니다:

$$ k > -\frac{25}{8} $$

크라머의 공식에 따르면, 계수 행렬의 행렬식 $D$가 0이고 행렬식 $D_x$나 $D_y$ 중 하나가 0이 아니면 연립방정식은 해가 없습니다.

계수 행렬 $A$는 다음과 같습니다:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$

그 행렬식 $D$는 다음과 같습니다:

$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$

$D = 0$으로 놓습니다:

$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$

행렬 $A$의 첫 번째 열을 상수 행렬 $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$로 교체하여 행렬식 $D_x$를 정의합니다:

$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$

$k = -\frac{6}{5}$를 대입합니다:

$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$

계수 행렬식 $D = 0$이지만 $D_x \neq 0$이므로, 다음 조건일 때 연립방정식은 해가 없습니다:

$$ k = -\frac{6}{5} $$

이차식 $ax^2 + bx + c$에서 $a = 6$, $b = -13$, $c = 5$임을 알 수 있습니다. $a$와 $c$를 곱합니다:

$$ 6 \times 5 = 30 $$

곱해서 30이 되고 더해서 -13이 되는 두 수가 필요합니다. -10과 -3이 이 조건을 만족합니다:

$$ -10 \times -3 = 30 $$

$$ -10 + (-3) = -13 $$

이 수들을 사용하여 $-13x$를 $-10x - 3x$로 쪼갭니다:

$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$

항들을 묶고 공통인수를 밖으로 빼냅니다:

$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$

$(3x - 5)$가 공통이므로 다음과 같이 인수분해됩니다:

$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$

$i^4 = 1$임을 주목하세요. 또한 $231 = 4 \times 57 + 3$임을 알 수 있습니다. 따라서:

$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$

$i^4 = 1$이므로 다음과 같습니다:

$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$

나머지 정리에 따라, $f(x)$를 $x - c$로 나눈 나머지 $r$은 $f(c)$로어집니다. 여기서 $c = 1$입니다.

$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$

꼭짓점의 x좌표 $h$를 구하는 공식은 $-\frac{b}{2a}$입니다:

$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$

$b$에 대해 풉니다:

$$ b = 16 $$

꼭짓점은 포물선 방정식의 해이므로 $x=2$와 $y=4$를 대입합니다:

$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$

$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$

$c$에 대해 풉니다:

$$ c = -20 $$

따라서 $b = 16$이고 $c = -20$입니다.

$x = 2$가 근이므로 $(x - 2)$는 $P(x)$의 인수입니다. $P(x)$를 $(x - 2)$로 나누어 이차 몫 $Q(x)$를 구합니다:

$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$

따라서 이제 다음과 같습니다:

$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$

이차식을 인수분해합니다:

$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$

최종 인수분해:

$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$

각 인수를 0으로 놓고 모든 근을 구합니다:

$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$

모든 변에서 2를 빼어 연립부등식을 풉니다:

$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$

2로 나눕니다:

$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$

$\frac{7}{2} = 3.5$이므로, 주어진 부등식을 만족하는 $x$의 정수 최댓값은 $3$입니다 ($3.5$보다 작은 가장 큰 정수).

a) $A$와 $B$의 공통 원소는 3뿐이므로 교집합은 다음과 같습니다:

$$ A \cap B = \{3\} $$

b) 합집합에는 $A$와 $B$의 모든 원소가 포함됩니다. 공통 원소는 한 번만 적습니다:

$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$

마이너스 부호를 밖으로 빼내어 식을 다시 씁니다:

$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$

제곱을 완성합니다:

$$ = | -(x - 2)^2 | $$

$|-A| = |A|$ 성질을 이용합니다. 임의의 실수 $x$에 대해 $(x-2)^2$은 항상 음이 아니므로 절댓값 기호를 완전히 없앨 수 있습니다:

$$ = (x - 2)^2 $$

직선과 원이 접하려면 교점이 정확히 하나여야 합니다. 원 방정식에 $y = kx$를 대입합니다:

$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$

전개합니다:

$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$

항들을 묶어 표준형 이차방정식 $(Ax^2 + Bx + C = 0)$으로 씁니다:

$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$

직선이 접하려면 이 이차방정식이 정확히 하나의 해를 가져야 하므로, 판별식 $\Delta$가 0이어야 합니다:

$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$

판별식 방정식을 전개합니다:

$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$

$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$

풀기 쉽도록 전체 방정식을 $-4$로 나눕니다:

$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$

근의 공식을 사용하여 $k$에 대한 이 이차방정식을 풉니다:

$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$

근호를 간단히 합니다 ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$):

$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$

최종 정답:

$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{또는} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$