핵심 개념
함수 $y = \sqrt{x}$는 $x \ge 0$일 때만 존재합니다. 아래 그래프에서 볼 수 있듯이, $x$가 음수일 때는 함수의 실수 값이 존재하지 않습니다.
단계별 가이드, 그래프 해석 및 풀이가 포함된 예제
제곱근 함수 $f(x) = \sqrt{g(x)}$의 정의역은 식 $g(x)$가 음이 아닌 값($g(x) \ge 0$)을 갖도록 하는 모든 실수 $x$의 집합입니다. 이는 함숫값이 항상 실수로 유지되도록 보장합니다.
함수 $y = \sqrt{x}$는 $x \ge 0$일 때만 존재합니다. 아래 그래프에서 볼 수 있듯이, $x$가 음수일 때는 함수의 실수 값이 존재하지 않습니다.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
근호 안의 값이 다음 조건을 만족할 때 함수는 실숫값을 갖습니다:
\[ x - 2 \ge 0 \]부등식을 풀면 다음과 같습니다:
\[ x \ge 2 \]그래프 확인: 그래프는 $x$가 2 이상인 값에 대해서만 존재합니다.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
실숫값을 갖기 위한 조건은 다음과 같습니다:
\[ |x - 1| \ge 0 \]절댓값 식은 모든 실수에 대해 항상 0보다 크거나 같으므로, 이 조건은 모든 $x$에 대해 만족됩니다.
정의역: 모든 실수 $\mathbb{R}$, 또는 $(-\infty, \infty)$.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
0으로 나누는 것은 허용되지 않으므로, 근호 안의 식은 엄격하게 양수여야 합니다:
\[ x + 3 > 0 \]풀면 다음과 같습니다:
\[ x > -3 \]그래프 확인: 그래프는 $x = -3$ 바로 다음부터 시작하여 오른쪽으로 뻗어 나갑니다.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
두 가지 조건을 동시에 만족해야 합니다:
정의역은 이 두 집합의 교집합입니다:
\[ x > 2 \]
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
조건: \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
임계점은 $x = -4$와 $x = 2$입니다. 구간별 부호 확인:
정의역: $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (참고: 분모 때문에 $x=2$는 제외됩니다).
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
조건: \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + 4$는 항상 4 이상이므로, 결코 0보다 작거나 같을 수 없습니다.
정의역: 공집합 (실수 해가 없음).
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
조건:
교집합: $2 < x \le 6$. 구간 표기법으로: $(2, 6]$.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
조건: \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
이 부등식은 $x$가 두 근 $-2$와 $2$의 바깥쪽에 있을 때 성립합니다.
정의역: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
다음 함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
조건: \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
이 부등식은 $x$가 두 근 $-2$와 $2$ 사이에 있을 때 성립합니다.
정의역: $[-2, 2]$.
